Упр.155 Итоговое повторение ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)
а) Рассмотрим выражение $$\frac{\sqrt{3-5x-2x^2}}{7x}.$$
Для существования корня и знаменателя нужно:
$$3-5x-2x^2 \ge 0,\qquad 7x \ne 0.$$
Решим неравенство:
$$3-5x-2x^2 \ge 0$$
$$2x^2+5x-3 \le 0$$
$$D=5^2-4\cdot 2\cdot(-3)=25+24=49$$
$$x_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{4}$$
$$x_1=-3,\qquad x_2=\frac12$$
Тогда
$$2x^2+5x-3 \le 0 \Rightarrow x\in[-3;\tfrac12].$$
С учётом условия $$x\ne 0$$ получаем:
$$x\in[-3;0)\cup(0;\tfrac12].$$
б) Рассмотрим выражение $$\frac{\sqrt{3x^2-x-14}}{2x+5}.$$
Требуется:
$$3x^2-x-14 \ge 0,\qquad 2x+5\ne 0.$$
Решим неравенство:
$$3x^2-x-14 \ge 0$$
$$D=(-1)^2-4\cdot 3\cdot(-14)=1+168=169$$
$$x_{1,2}=\frac{1\pm 13}{6}$$
$$x_1=-2,\qquad x_2=\frac73$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$3x^2-x-14 \ge 0 \Rightarrow x\in(-\infty;-2]\cup[\tfrac73;+\infty).$$
Исключаем точку $$x=-\frac52$$, где знаменатель равен нулю:
$$x\in(-\infty;-\tfrac52)\cup(-\tfrac52;-2]\cup[\tfrac73;+\infty).$$
в) Рассмотрим выражение $$\frac{\sqrt{2-5x-3x^2}}{9x}.$$
Требуется:
$$2-5x-3x^2 \ge 0,\qquad 9x\ne 0.$$
Решим неравенство:
$$2-5x-3x^2 \ge 0$$
$$3x^2+5x-2 \le 0$$
$$D=5^2-4\cdot 3\cdot(-2)=25+24=49$$
$$x_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{6}$$
$$x_1=-2,\qquad x_2=\frac13$$
Тогда
$$3x^2+5x-2 \le 0 \Rightarrow x\in[-2;\tfrac13].$$
С учётом условия $$x\ne 0$$:
$$x\in[-2;0)\cup(0;\tfrac13].$$
г) Рассмотрим выражение $$\frac{\sqrt{3x^2-4x-15}}{7-2x}.$$
Требуется:
$$3x^2-4x-15 \ge 0,\qquad 7-2x\ne 0.$$
Решим неравенство:
$$3x^2-4x-15 \ge 0$$
$$D=(-4)^2-4\cdot 3\cdot(-15)=16+180=196$$
$$x_{1,2}=\frac{4\pm 14}{6}$$
$$x_1=-\frac53,\qquad x_2=3$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$3x^2-4x-15 \ge 0 \Rightarrow x\in(-\infty;-\tfrac53]\cup[3;+\infty).$$
Исключаем точку $$x=\frac72$$:
$$x\in(-\infty;-\tfrac53]\cup[3;\tfrac72)\cup(\tfrac72;+\infty).$$
Ответ
а) $$[-3;0)\cup(0;\tfrac12]$$; б) $$(-\infty;-\tfrac52)\cup(-\tfrac52;-2]\cup[\tfrac73;+\infty)$$; в) $$[-2;0)\cup(0;\tfrac13]$$; г) $$(-\infty;-\tfrac53]\cup[3;\tfrac72)\cup(\tfrac72;+\infty)$$.
