Дополнительная задача 14 Глава 3 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

14. 1) Одна из замечательных теорем Архимеда состоит в том, что график функции у = vx, 0 ? х ? а^2 делит в отношении 1 : 2 площадь прямоугольника Р с вершинами (0; 0), (0; а), (а^2; а), (а^2; 0) так: одна треть площади находится выше графика и две трети — ниже.
а) Найдите площадь криволинейного треугольника Т, используя теорему Архимеда.
б) На сколько она отличается от приближённого значения площади, найденного в упражнении 13(3)?
в) Какова относительная погрешность приближения?
2) Найдите площадь части криволинейного треугольника Т, которая расположена:
а) левее прямой х = 2;
б) правее прямой х = 1;
в) выше прямой у = x/3.

Обозначим через $$T$$ криволинейный треугольник, ограниченный осью $$Ox$$, прямой $$x=9$$ и графиком функции $$y=\sqrt{x}$$.

По теореме Архимеда график $$y=\sqrt{x}$$ при $$0 \le x \le a^2$$ делит площадь прямоугольника с вершинами $$ (0;0), (0;a), (a^2;a), (a^2;0) $$ в отношении $$1:2$$, то есть площадь под графиком равна $$\frac{2}{3}$$ площади прямоугольника.

1. Здесь $$a^2=9$$, значит $$a=3$$.

   Площадь прямоугольника:

   $$S_{\text{прям.}}=3\cdot 9=27.$$

   Тогда площадь криволинейного треугольника:

   $$S_T=\frac{2}{3}\cdot 27=18.$$

   В упражнении 13(3) получено приближённое значение $$S=17{,}5$$.

   Разность:

   $$S_T-S=18-17{,}5=0{,}5.$$

   Относительная погрешность:

   $$\Delta=\frac{0{,}5}{17{,}5}\cdot 100\%=\frac{1}{35}\cdot 100\%\approx 2{,}9\%.$$

2. а) Левее прямой $$x=2$$.

   Для графика $$y=\sqrt{x}$$ имеем $$a^2=2$$, значит $$a=\sqrt{2}$$.

   Площадь соответствующего прямоугольника:

   $$S_{\text{прям.}}=2\sqrt{2}.$$

   Искомая площадь:

   $$S_1=\frac{2}{3}\cdot 2\sqrt{2}=\frac{4\sqrt{2}}{3}.$$

   б) Правее прямой $$x=1$$.

   Здесь $$a^2=1$$, значит $$a=1$$.

   Площадь части треугольника левее прямой $$x=1$$:

   $$S_{\text{лев.}}=\frac{2}{3}\cdot 1=\frac{2}{3}.$$

   Тогда площадь правее прямой $$x=1$$:

   $$S_2=18-\frac{2}{3}=17\frac{1}{3}.$$

   в) Выше прямой $$y=\frac{x}{3}$$.

   Прямая $$y=\frac{x}{3}$$ пересекает график $$y=\sqrt{x}$$ в точке $$x=9$$, так как

   $$\sqrt{x}=\frac{x}{3} \Rightarrow x=9.$$

   Площадь под прямой $$y=\frac{x}{3}$$ на отрезке $$[0;9]$$ равна площади треугольника:

   $$S_{\text{под прямой}}=\frac{1}{2}\cdot 9\cdot 3=13{,}5.$$

   Тогда площадь части криволинейного треугольника выше этой прямой:

   $$S_3=18-13{,}5=4{,}5.$$

Ответ

1) а) $$18$$; б) $$0{,}5$$; в) $$2{,}9\%$$. 2) а) $$\frac{4\sqrt{2}}{3}$$; б) $$17\frac{1}{3}$$; в) $$4{,}5$$.