Упр.14.19 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

1. Постройте график функции $$y=\frac{x^3-x}{x^2+x}$$. При каких значениях $$m$$ график данной функции не имеет общих точек с прямой $$y=m$$?

Упростим выражение:

$$y=\frac{x^3-x}{x^2+x}=\frac{x(x^2-1)}{x(x+1)}=\frac{x(x-1)(x+1)}{x(x+1)}=x-1,$$

при этом $$x\ne 0$$ и $$x\ne -1$$.

Значит, график функции — прямая $$y=x-1$$, но с выколотыми точками, соответствующими значениям:

при $$x=0$$ получаем $$y=-1$$, при $$x=-1$$ получаем $$y=-2$$.

Следовательно, график не имеет общих точек с прямой $$y=m$$ только тогда, когда $$m$$ равно ординатам выколотых точек:

$$m=-1 \text{ и } m=-2.$$

Ответ

$$m=-2,\,-1.$$