Упр.14.13 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

1. Упростите выражение: а) $$\frac{4a}{4a^2-12ab+9b^2}+\frac{2a+3b}{3ab-2a^2}$$; б) $$\frac{m+n}{m^2-mn}-\frac{m}{n^2-2nm+m^2}$$.

а) Преобразуем знаменатели:

$$4a^2-12ab+9b^2=(2a-3b)^2,$$
$$3ab-2a^2=a(3b-2a).$$

Тогда

$$\frac{4a}{4a^2-12ab+9b^2}+\frac{2a+3b}{3ab-2a^2} = \frac{4a}{(2a-3b)^2}+\frac{2a+3b}{a(3b-2a)}.$$

Так как $$3b-2a=-(2a-3b),$$ получаем

$$\frac{4a}{(2a-3b)^2}-\frac{2a+3b}{a(2a-3b)}.$$

Приведём к общему знаменателю $$a(2a-3b)^2$$:

$$\frac{4a^2-(2a+3b)(2a-3b)}{a(2a-3b)^2}.$$

Раскроем скобки:

$$(2a+3b)(2a-3b)=4a^2-9b^2.$$

Тогда

$$\frac{4a^2-(4a^2-9b^2)}{a(2a-3b)^2} = \frac{9b^2}{a(2a-3b)^2}.$$

б) Разложим знаменатели на множители:

$$m^2-mn=m(m-n),$$
$$n^2-2nm+m^2=(m-n)^2.$$

Тогда

$$\frac{m+n}{m^2-mn}-\frac{m}{n^2-2nm+m^2} = \frac{m+n}{m(m-n)}-\frac{m}{(m-n)^2}.$$

Приведём к общему знаменателю $$m(m-n)^2$$:

$$\frac{(m+n)(m-n)-m^2}{m(m-n)^2}.$$

Упростим числитель:

$$(m+n)(m-n)-m^2=m^2-n^2-m^2=-n^2.$$

Получаем

$$-\frac{n^2}{m(m-n)^2}.$$

Ответ

$$\text{а) } \frac{9b^2}{a(2a-3b)^2}; \qquad \text{б) } -\frac{n^2}{m(m-n)^2}.$$