Упр.14.12 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Задача

13.11 а) система
y= корень x,
y=x2;
б) система
y= корень x,
y=2x-1;
в) система
y= корень x,
y=x;
г) система
y= корень x,
y=-x-2.

Подробный ответ

а) Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} y=\sqrt{x},\\ y=x^2. \end{cases} $$
Точки пересечения графиков найдём из уравнения
$$\sqrt{x}=x^2, \quad x\ge 0.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x=x^4$$
$$x^4-x=0$$
$$x(x^3-1)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=1.$$
Тогда
$$y=\sqrt{0}=0,\qquad y=\sqrt{1}=1.$$
Получаем точки пересечения: $$(0;0)$$ и $$(1;1).$$
б) Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} y=\sqrt{x},\\ y=2x-1. \end{cases} $$
Решим уравнение пересечения:
$$\sqrt{x}=2x-1.$$
Так как левая часть неотрицательна, то $$2x-1\ge 0,$$ значит $$x\ge \frac12.$$
Возведём в квадрат:
$$x=(2x-1)^2$$
$$x=4x^2-4x+1$$
$$4x^2-5x+1=0$$
$$D=25-16=9.$$
$$x=\frac{5\pm 3}{8}.$$
Получаем $$x=1$$ или $$x=\frac14.$$
Проверим условие $$x\ge \frac12$$: подходит только $$x=1.$$ Тогда
$$y=\sqrt{1}=1.$$
Точка пересечения: $$(1;1).$$
в) Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} y=\sqrt{x},\\ y=x. \end{cases} $$
Из равенства функций получаем
$$\sqrt{x}=x,\quad x\ge 0.$$
Возведём в квадрат:
$$x=x^2$$
$$x^2-x=0$$
$$x(x-1)=0.$$
Следовательно, $$x=0$$ или $$x=1.$$
Тогда точки пересечения: $$(0;0)$$ и $$(1;1).$$
г) Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} y=\sqrt{x},\\ y=-x-2. \end{cases} $$
Так как $$y=\sqrt{x}\ge 0,$$ то должно быть
$$-x-2\ge 0 \quad \Rightarrow \quad x\le -2.$$
Но для функции $$y=\sqrt{x}$$ необходимо $$x\ge 0.$$
Одновременно эти условия выполниться не могут, значит графики не пересекаются.