Упр.138 Итоговое повторение ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович 8 класс, Мнемозина: 138. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной х значение выражения не зависит от х:

1. а) Преобразуем выражение:

   $$\left(\frac{3\sqrt{x}-x\sqrt{x}}{3-x}-2\right)^{-1}:\frac{\sqrt{x}+2}{x-4}$$

   Так как $$3\sqrt{x}-x\sqrt{x}=\sqrt{x}(3-x),$$ то

   $$\left(\frac{\sqrt{x}(3-x)}{3-x}-2\right)^{-1}:\frac{\sqrt{x}+2}{x-4}=\left(\sqrt{x}-2\right)^{-1}:\frac{\sqrt{x}+2}{x-4}.$$

   Деление заменим умножением на обратную дробь:

   $$\left(\sqrt{x}-2\right)^{-1}\cdot \frac{x-4}{\sqrt{x}+2}.$$

   Разложим $$x-4$$:

   $$x-4=(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2).$$

   Тогда

   $$\left(\sqrt{x}-2\right)^{-1}\cdot \frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{x}+2}=1.$$

   Значение выражения не зависит от $$x$$.

2. б) Преобразуем выражение:

   $$\left(\frac{x-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}+1\right)^{-1}\cdot \frac{x-1}{\sqrt{x}-1}$$

   Так как $$x-2\sqrt{x}=\sqrt{x}(\sqrt{x}-2),$$ то

   $$\left(\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}{\sqrt{x}-2}+1\right)^{-1}\cdot \frac{x-1}{\sqrt{x}-1}=\left(\sqrt{x}+1\right)^{-1}\cdot \frac{x-1}{\sqrt{x}-1}.$$

   Разложим $$x-1$$:

   $$x-1=(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1).$$

   Тогда

   $$\left(\sqrt{x}+1\right)^{-1}\cdot \frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}-1}=1.$$

   Значение выражения не зависит от $$x$$.

Ответ

а) $$1$$; б) $$1$$.