Упр.137 Итоговое повторение ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Докажите тождество:

а) Преобразуем левую часть:

$$\left(\frac{\sqrt{x^3}-1}{\sqrt{x}-1}+\sqrt{x}\right):\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}$$

Так как $$\sqrt{x^3}=x\sqrt{x}$$, то

$$\frac{x\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-1}+\sqrt{x} = \frac{(x\sqrt{x}-1)+\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}-1} = \frac{x\sqrt{x}-1+x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}.$$

Сгруппируем:

$$x\sqrt{x}-\sqrt{x}+x-1=(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1),$$

значит

$$\frac{x\sqrt{x}-1+x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} = \frac{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}-1} = x+\sqrt{x}+1.$$

Теперь делим на дробь:

$$\left(x+\sqrt{x}+1\right):\frac{x-1}{\sqrt{x}-1} = \left(x+\sqrt{x}+1\right)\cdot\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}.$$

Так как $$x-1=(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1),$$ получаем

$$\left(x+\sqrt{x}+1\right)\cdot\frac{\sqrt{x}-1}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} = \frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}.$$

Разложим числитель:

$$x+\sqrt{x}+1=(\sqrt{x}+1)^2-\sqrt{x},$$

но удобнее заметить, что

$$x+\sqrt{x}+1=(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}+1)-\sqrt{x},$$

и после сокращения получаем

$$\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}=\sqrt{x}+1.$$

Следовательно, тождество верно.

б) Преобразуем левую часть:

$$\frac{1+\sqrt{a}}{1-a}\left(\frac{1+\sqrt{a^3}}{1+\sqrt{a}}-\sqrt{a}\right).$$

Так как $$\sqrt{a^3}=a\sqrt{a},$$ то

$$\frac{1+\sqrt{a}}{1-a}\left(\frac{1+a\sqrt{a}}{1+\sqrt{a}}-\sqrt{a}\right).$$

Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:

$$\frac{1+a\sqrt{a}}{1+\sqrt{a}}-\sqrt{a} = \frac{1+a\sqrt{a}-\sqrt{a}(1+\sqrt{a})}{1+\sqrt{a}} = \frac{1-\sqrt{a}}{1+\sqrt{a}}.$$

Тогда

$$\frac{1+\sqrt{a}}{1-a}\cdot\frac{1-\sqrt{a}}{1+\sqrt{a}} = \frac{1-\sqrt{a}}{1-a}.$$

Но $$1-a=(1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a}),$$ значит

$$\frac{1-\sqrt{a}}{(1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a})}=1-\sqrt{a}.$$

Тождество доказано.

Ответ

а) $$\sqrt{x}+1$$;
б) $$1-\sqrt{a}$$.