Упр.134 Итоговое повторение ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)
Сравните значения выражений:
- а) $$\sqrt{192}$$ и $$\frac{1}{7-4\sqrt{3}}-\frac{1}{7+4\sqrt{3}}$$;
- б) $$3+2\sqrt{2}$$ и $$\sqrt{7}+\sqrt{10}$$;
- в) $$\sqrt{198}$$ и $$\frac{1}{5\sqrt{2}-7}-\frac{1}{5\sqrt{2}+7}$$;
- г) $$2\sqrt{5}+3$$ и $$\sqrt{10}+\sqrt{19}$$.
Сравним числа, возведя второе выражение в квадрат:
$$\frac{1}{7-4\sqrt3}-\frac{1}{7+4\sqrt3}=\frac{7+4\sqrt3-(7-4\sqrt3)}{(7-4\sqrt3)(7+4\sqrt3)}=\frac{8\sqrt3}{49-48}=8\sqrt3.$$
$$8\sqrt3=\sqrt{64\cdot 3}=\sqrt{192}.$$
Значит,
$$\sqrt{192}=\frac{1}{7-4\sqrt3}-\frac{1}{7+4\sqrt3}.$$
Сравним квадраты чисел:
$$\left(3+2\sqrt2\right)^2=9+12\sqrt2+8=17+12\sqrt2,$$
$$\left(\sqrt7+\sqrt{10}\right)^2=7+2\sqrt{70}+10=17+2\sqrt{70}.$$
Сравним добавки:
$$12\sqrt2 \text{ и } 2\sqrt{70}.$$
Возведём в квадрат:
$$\left(12\sqrt2\right)^2=288,\qquad \left(2\sqrt{70}\right)^2=280,$$
поэтому $$12\sqrt2>2\sqrt{70}.$$
Следовательно,
$$3+2\sqrt2>\sqrt7+\sqrt{10}.$$
Преобразуем второе выражение:
$$\frac{1}{5\sqrt2-7}-\frac{1}{5\sqrt2+7}=\frac{5\sqrt2+7-(5\sqrt2-7)}{(5\sqrt2-7)(5\sqrt2+7)}=\frac{14}{50-49}=14.$$
Так как
$$14=\sqrt{196},$$
то
$$\sqrt{198}>\sqrt{196}=\frac{1}{5\sqrt2-7}-\frac{1}{5\sqrt2+7}.$$
Сравним квадраты:
$$\left(2\sqrt5+3\right)^2=20+12\sqrt5+9=29+12\sqrt5,$$
$$\left(\sqrt{10}+\sqrt{19}\right)^2=10+2\sqrt{190}+19=29+2\sqrt{190}.$$
Сравним:
$$12\sqrt5 \text{ и } 2\sqrt{190}.$$
Возведём в квадрат:
$$\left(12\sqrt5\right)^2=720,\qquad \left(2\sqrt{190}\right)^2=760,$$
значит, $$12\sqrt5<2\sqrt{190}.$$
Следовательно,
$$2\sqrt5+3<\sqrt{10}+\sqrt{19}.$$
Ответ
а) $$\sqrt{192}=\frac{1}{7-4\sqrt3}-\frac{1}{7+4\sqrt3}$$; б) $$3+2\sqrt2>\sqrt7+\sqrt{10}$$; в) $$\sqrt{198}>\frac{1}{5\sqrt2-7}-\frac{1}{5\sqrt2+7}$$; г) $$2\sqrt5+3<\sqrt{10}+\sqrt{19}$$.
