Упр.131 Итоговое повторение ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

131. а) х2 + 2х — 2 корень (x2 + 2х) = 3;
б) х2 + 6х + 24 = 10 корень (x2 + 6х).

а) Введём новую переменную:

$$t=\sqrt{x^2+2x}, \quad t\ge 0.$$

Тогда уравнение примет вид:

$$x^2+2x-2\sqrt{x^2+2x}=3 \;\Rightarrow\; t^2-2t-3=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-3)=16,$$

$$t_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2}.$$

Получаем:

$$t_1=3,\quad t_2=-1.$$

Так как $$t\ge 0,$$ значение $$t=-1$$ не подходит.

Остаётся:

$$\sqrt{x^2+2x}=3.$$

Тогда

$$x^2+2x=9,$$

$$x^2+2x-9=0.$$

Найдём корни:

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-9)=40,$$

$$x_{1,2}=\frac{-2\pm \sqrt{40}}{2}=\frac{-2\pm 2\sqrt{10}}{2}=-1\pm \sqrt{10}.$$

б) Введём новую переменную:

$$t=\sqrt{x^2+6x}, \quad t\ge 0.$$

Тогда уравнение:

$$x^2+6x+24=10\sqrt{x^2+6x} \;\Rightarrow\; t^2-10t+24=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=10^2-4\cdot 24=4,$$

$$t_{1,2}=\frac{10\pm 2}{2}.$$

Получаем:

$$t_1=4,\quad t_2=6.$$

1) Если $$\sqrt{x^2+6x}=4,$$ то

$$x^2+6x=16,$$

$$x^2+6x-16=0,$$

$$D=6^2-4\cdot 1\cdot(-16)=100,$$

$$x_{1,2}=\frac{-6\pm 10}{2}.$$

Отсюда:

$$x_1=-8,\quad x_2=2.$$

2) Если $$\sqrt{x^2+6x}=6,$$ то

$$x^2+6x=36,$$

$$x^2+6x-36=0,$$

$$D=6^2-4\cdot 1\cdot(-36)=180=36\cdot 5,$$

$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{180}}{2}=\frac{-6\pm 6\sqrt5}{2}=-3\pm 3\sqrt5.$$

Ответ

а) $$x=-1\pm \sqrt{10}.$$
б) $$x=-8,\; x=2,\; x=-3\pm 3\sqrt5.$$