Упр.13.4 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) (x^2 + 9)/(x^3 — 64) + (4x + 7)/(x^3 — 64);
б) (x^2 — x)/(x^3 + 8) — (x — 4)/(x^3 + 8);
в) (2k^2 + 9)/(k^3 + 1) — (k^2 + 10)/(k^3 + 1);
г) (p^2 — 2)/(27 — p^3) + 7/(p^3 — 27);
д) (4x^2)/(8x^3 — 1) + (4x — 1)/(1 — 8x^3);
е) (x^2 + 3ax)/(x^3 + a^3) + (a^2 — ax)/(x^3 + a^3).

а) $$\frac{x^2+9}{x^3-64}+\frac{4x+7}{x^3-64}=\frac{x^2+4x+16}{x^3-64}.$$

Так как $$x^3-64=(x-4)(x^2+4x+16),$$ то

$$\frac{x^2+4x+16}{x^3-64}=\frac{x^2+4x+16}{(x-4)(x^2+4x+16)}=\frac{1}{x-4}.$$

б) $$\frac{x^2-x}{x^3+8}-\frac{x-4}{x^3+8}=\frac{x^2-x-(x-4)}{x^3+8}=\frac{x^2-2x+4}{x^3+8}.$$

Так как $$x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4),$$ то

$$\frac{x^2-2x+4}{x^3+8}=\frac{x^2-2x+4}{(x+2)(x^2-2x+4)}=\frac{1}{x+2}.$$

в) $$\frac{2k^2+9}{k^3+1}-\frac{k^2+10}{k^3+1}=\frac{2k^2+9-(k^2+10)}{k^3+1}=\frac{k^2-1}{k^3+1}.$$

$$k^2-1=(k-1)(k+1), \qquad k^3+1=(k+1)(k^2-k+1).$$

Тогда

$$\frac{k^2-1}{k^3+1}=\frac{(k-1)(k+1)}{(k+1)(k^2-k+1)}=\frac{k-1}{k^2-k+1}.$$

г) $$\frac{p^2-2}{27-p^3}+\frac{7}{p^3-27}=\frac{p^2-2}{27-p^3}-\frac{7}{27-p^3}=\frac{p^2-9}{27-p^3}.$$

$$p^2-9=(p-3)(p+3), \qquad 27-p^3=(3-p)(9+3p+p^2).$$

Так как $$p-3=-(3-p),$$ получаем

$$\frac{p^2-9}{27-p^3}=\frac{(p-3)(p+3)}{(3-p)(9+3p+p^2)}=-\frac{p+3}{9+3p+p^2}.$$

д) $$\frac{4x^2}{8x^3-1}+\frac{4x-1}{1-8x^3}=\frac{4x^2}{8x^3-1}-\frac{4x-1}{8x^3-1}=\frac{4x^2-4x+1}{8x^3-1}.$$

$$4x^2-4x+1=(2x-1)^2, \qquad 8x^3-1=(2x-1)(4x^2+2x+1).$$

Тогда

$$\frac{4x^2-4x+1}{8x^3-1}=\frac{(2x-1)^2}{(2x-1)(4x^2+2x+1)}=\frac{2x-1}{4x^2+2x+1}.$$

е) $$\frac{x^2+3ax}{x^3+a^3}+\frac{a^2-ax}{x^3+a^3}=\frac{x^2+3ax+a^2-ax}{x^3+a^3}=\frac{x^2+2ax+a^2}{x^3+a^3}.$$

$$x^2+2ax+a^2=(x+a)^2, \qquad x^3+a^3=(x+a)(x^2-ax+a^2).$$

Следовательно,

$$\frac{x^2+2ax+a^2}{x^3+a^3}=\frac{(x+a)^2}{(x+a)(x^2-ax+a^2)}=\frac{x+a}{x^2-ax+a^2}.$$

Ответ

а) $$\frac{1}{x-4}$$; б) $$\frac{1}{x+2}$$; в) $$\frac{k-1}{k^2-k+1}$$; г) $$-\frac{p+3}{p^2+3p+9}$$; д) $$\frac{2x-1}{4x^2+2x+1}$$; е) $$\frac{x+a}{x^2-ax+a^2}$$.