Упр.13.2 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

1. Упростите выражение: а) $$\frac{m^2}{m-n}-\frac{mn}{m-n}$$; б) $$\frac{2dc}{2c+d}+\frac{d^2}{2c+d}$$; в) $$\frac{9y^2}{4x-3y}+\frac{12xy}{3y-4x}$$; г) $$\frac{20ab^2}{3a+5b}-\frac{12a^2b}{-3a-5b}$$; д) $$\frac{x^2+z}{z^2-xz}+\frac{x+z^2}{xz-z^2}$$; е) $$\frac{6b+1}{4ab-2a^2}+\frac{3ab+1}{2a^2-4ab}$$.

а) Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{m^2}{m-n}-\frac{mn}{m-n}=\frac{m^2-mn}{m-n}=\frac{m(m-n)}{m-n}=m.$$

б)

$$\frac{2dc}{2c+d}+\frac{d^2}{2c+d}=\frac{2dc+d^2}{2c+d}=\frac{d(2c+d)}{2c+d}=d.$$

в) Заметим, что $$3y-4x=-(4x-3y)$$, тогда

$$\frac{9y^2}{4x-3y}+\frac{12xy}{3y-4x} = \frac{9y^2}{4x-3y}-\frac{12xy}{4x-3y} = \frac{9y^2-12xy}{4x-3y}.$$

Вынесем общий множитель:

$$\frac{9y^2-12xy}{4x-3y} = \frac{3y(3y-4x)}{4x-3y} = \frac{3y\bigl(-(4x-3y)\bigr)}{4x-3y} =-3y.$$

г) Так как $$-3a-5b=-(3a+5b)$$, получаем:

$$\frac{20ab^2}{3a+5b}-\frac{12a^2b}{-3a-5b} = \frac{20ab^2}{3a+5b}+\frac{12a^2b}{3a+5b} = \frac{20ab^2+12a^2b}{3a+5b}.$$

Вынесем общий множитель:

$$\frac{20ab^2+12a^2b}{3a+5b} = \frac{4ab(5b+3a)}{3a+5b} = 4ab.$$

д) Учтём, что $$xz-z^2=-z(z-x)$$:

$$\frac{x^2+z}{z^2-xz}+\frac{x+z^2}{xz-z^2} = \frac{x^2+z}{z^2-xz}-\frac{x+z^2}{z^2-xz} = \frac{x^2+z-x-z^2}{z^2-xz}.$$

Преобразуем числитель и знаменатель:

$$x^2+z-x-z^2=(x^2-z^2)-(x-z)=(x-z)(x+z)-(x-z)=(x-z)(x+z-1),$$

$$z^2-xz=-z(x-z).$$

Тогда

$$\frac{(x-z)(x+z-1)}{-z(x-z)}=\frac{x+z-1}{-z}=\frac{1-x-z}{z}.$$

е) Так как $$2a^2-4ab=-(4ab-2a^2)$$, имеем:

$$\frac{6b+1}{4ab-2a^2}+\frac{3ab+1}{2a^2-4ab} = \frac{6b+1}{4ab-2a^2}-\frac{3ab+1}{4ab-2a^2} = \frac{6b+1-3ab-1}{4ab-2a^2}.$$

$$\frac{6b-3ab}{4ab-2a^2} = \frac{3b(2-a)}{2a(2b-a)}.$$

Ответ

а) $$m$$; б) $$d$$; в) $$-3y$$; г) $$4ab$$; д) $$\frac{1-x-z}{z}$$; е) $$\frac{3b(2-a)}{2a(2b-a)}$$.