Дополнительная задача 13 Глава 5 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
Найдите квадратичную функцию $$y=f(x)$$, удовлетворяющую заданному соотношению:
а) $$f(2x)=x^2$$; г) $$f(-4x)=-x^2$$; б) $$f(4x)=-x^2$$; д) $$f(2x+1)=x^2$$; в) $$f(-2x)=2x^2$$; е) $$f(2-3x)=4-9x^2$$.
а) $$f(2x)=x^2$$
Положим $$t=2x$$, тогда $$x=\frac{t}{2}$$. Получаем:
$$f(t)=\left(\frac{t}{2}\right)^2=\frac{t^2}{4}$$
Значит, $$f(x)=\frac{x^2}{4}$$.
б) $$f(4x)=-x^2$$
Положим $$t=4x$$, тогда $$x=\frac{t}{4}$$. Тогда:
$$f(t)=-\left(\frac{t}{4}\right)^2=-\frac{t^2}{16}$$
Следовательно, $$f(x)=-\frac{x^2}{16}$$.
в) $$f(-2x)=2x^2$$
Положим $$t=-2x$$, тогда $$x=-\frac{t}{2}$$. Получаем:
$$f(t)=2\left(-\frac{t}{2}\right)^2=2\cdot\frac{t^2}{4}=\frac{t^2}{2}$$
Значит, $$f(x)=\frac{x^2}{2}$$.
г) $$f(-4x)=-x^2$$
Положим $$t=-4x$$, тогда $$x=-\frac{t}{4}$$. Тогда:
$$f(t)=-\left(-\frac{t}{4}\right)^2=-\frac{t^2}{16}$$
Следовательно, $$f(x)=-\frac{x^2}{16}$$.
д) $$f(2x+1)=x^2$$
Положим $$t=2x+1$$, тогда $$x=\frac{t-1}{2}$$. Получаем:
$$f(t)=\left(\frac{t-1}{2}\right)^2=\frac{(t-1)^2}{4}$$
Значит, $$f(x)=\frac{(x-1)^2}{4}$$.
е) $$f(2-3x)=4-9x^2$$
Положим $$t=2-3x$$, тогда $$x=\frac{2-t}{3}$$. Тогда:
$$f(t)=4-9\left(\frac{2-t}{3}\right)^2=4-(2-t)^2$$
$$f(t)=4-(t-2)^2=4-(t^2-4t+4)=-t^2+4t$$
Следовательно, $$f(x)=-x^2+4x$$.
Ответ
а) $$f(x)=\frac{x^2}{4}$$; б) $$f(x)=-\frac{x^2}{16}$$; в) $$f(x)=\frac{x^2}{2}$$; г) $$f(x)=-\frac{x^2}{16}$$; д) $$f(x)=\frac{(x-1)^2}{4}$$; е) $$f(x)=-x^2+4x$$.
