Упр.129 Итоговое повторение ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Задача

б) корень (x+3) — корень (2x-1) = корень (3x-2);
в) корень (x+6) — 2 корень (x-2) =1;
г) корень (x+1) — корень (x-2) = корень (2x-5).

Подробный ответ

$$2\sqrt{x-1}-\sqrt{x+4}=1$$
ОДЗ: $$x-1\ge 0,\; x+4\ge 0,$$ значит $$x\ge 1.$$
Перенесём корень и возведём в квадрат:
$$ 2\sqrt{x-1}=1+\sqrt{x+4} $$
$$ 4(x-1)=1+2\sqrt{x+4}+x+4 $$
$$ 3x-9=2\sqrt{x+4} $$
Снова возведём в квадрат:
$$ (3x-9)^2=4(x+4) $$
$$ 9x^2-54x+81=4x+16 $$
$$ 9x^2-58x+65=0 $$
$$ D=58^2-4\cdot 9\cdot 65=1024,\quad \sqrt D=32 $$
$$ x_{1,2}=\frac{58\pm 32}{18} $$
$$ x_1=\frac{13}{9},\quad x_2=5 $$
Оба корня подходят.
$$\sqrt{x+3}-\sqrt{2x-1}=\sqrt{3x-2}$$
ОДЗ: $$x+3\ge 0,\; 2x-1\ge 0,\; 3x-2\ge 0,$$ значит $$x\ge \frac23.$$
Возведём в квадрат:
$$ x+3-2\sqrt{(x+3)(2x-1)}+2x-1=3x-2 $$
$$ 4=2\sqrt{2x^2+5x-3} $$
$$ 2=\sqrt{2x^2+5x-3} $$
$$ 4=2x^2+5x-3 $$
$$ 2x^2+5x-7=0 $$
$$ D=5^2-4\cdot 2\cdot(-7)=81,\quad \sqrt D=9 $$
$$ x_{1,2}=\frac{-5\pm 9}{4} $$
$$ x_1=1,\quad x_2=-\frac72 $$
По ОДЗ подходит только $$x=1.$$
$$\sqrt{x+6}-2\sqrt{x-2}=1$$
ОДЗ: $$x+6\ge 0,\; x-2\ge 0,$$ значит $$x\ge 2.$$
Возведём в квадрат:
$$ x+6=1+4\sqrt{x-2}+4(x-2) $$
$$ -3x+13=4\sqrt{x-2} $$
Снова возведём в квадрат:
$$ (13-3x)^2=16(x-2) $$
$$ 169-78x+9x^2=16x-32 $$
$$ 9x^2-94x+201=0 $$
$$ D=94^2-4\cdot 9\cdot 201=1600,\quad \sqrt D=40 $$
$$ x_{1,2}=\frac{94\pm 40}{18} $$
$$ x_1=3,\quad x_2=\frac{67}{9} $$
Оба корня подходят.
$$\sqrt{x+1}-\sqrt{x-2}=\sqrt{2x-5}$$
ОДЗ: $$x+1\ge 0,\; x-2\ge 0,\; 2x-5\ge 0,$$ значит $$x\ge \frac52.$$
Возведём в квадрат:
$$ x+1-2\sqrt{(x+1)(x-2)}+x-2=2x-5 $$
$$ 4=2\sqrt{x^2-x-2} $$
$$ 2=\sqrt{x^2-x-2} $$
$$ 4=x^2-x-2 $$
$$ x^2-x-6=0 $$
$$ D=1+24=25,\quad \sqrt D=5 $$
$$ x_{1,2}=\frac{1\pm 5}{2} $$
$$ x_1=-2,\quad x_2=3 $$
По ОДЗ подходит только $$x=3.$$