Упр.12.12 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) (a + b)/2b и 3a/b^2 ;
б) (c — x)/(3x^2) и 4c/9x;
в) (5 + q)/(24p^3 q^3) и (3 — p)/(8p^3 q^2);
г) (1 — kn)/(15k^2 n) и (k + n)/(45k^3 n^2);
д) (a — b)/(15a^2 b) и (a + b)/(10ab^2);
е) (3 + q)/(28p^4 q^3) и (4 — p)/(35p^3 q^4).
Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю:
а) 4n/(n — 4) и (n + 2)/(n + 4);
б) (7x^2)/(3x — 6) и (x — 3)/(5x — 10);
в) (a — 2)/(ab + 2a) и (b — 2)/(b^2 + 2b);
г) (x + 1)/(x^2 (x — 1)) и (x + 2)/(x^2 (x + 1));
д) 3c/(ac + a^2) и (a^2 — ac + c^2)/(a^2 — ac);
е) (1 + x + x^2)/(x + x^2) и (x + 1)/(x — x^2).

1. а) $$\frac{a+b}{2b} \text{ и } \frac{3a}{b^2}$$

   Наименьший общий знаменатель: $$2b^2$$.

   $$\frac{a+b}{2b}\cdot\frac{b}{b}=\frac{ab+b^2}{2b^2}, \qquad \frac{3a}{b^2}\cdot\frac{2}{2}=\frac{6a}{2b^2}$$

2. б) $$\frac{c-x}{3x^2} \text{ и } \frac{4c}{9x}$$

   Наименьший общий знаменатель: $$9x^2$$.

   $$\frac{c-x}{3x^2}\cdot\frac{3}{3}=\frac{3c-3x}{9x^2}, \qquad \frac{4c}{9x}\cdot\frac{x}{x}=\frac{4cx}{9x^2}$$

3. в) $$\frac{5+q}{24p^3q^3} \text{ и } \frac{3-p}{8p^3q^2}$$

   Наименьший общий знаменатель: $$24p^3q^3$$.

   $$\frac{5+q}{24p^3q^3} \text{ уже имеет нужный знаменатель}, \qquad \frac{3-p}{8p^3q^2}\cdot\frac{3q}{3q}=\frac{9q-3pq}{24p^3q^3}$$

4. г) $$\frac{1-kn}{15k^2n} \text{ и } \frac{k+n}{45k^3n^2}$$

   Наименьший общий знаменатель: $$45k^3n^2$$.

   $$\frac{1-kn}{15k^2n}\cdot\frac{3kn}{3kn}=\frac{3kn-3k^2n^2}{45k^3n^2}, \qquad \frac{k+n}{45k^3n^2} \text{ уже имеет нужный знаменатель}$$

5. д) $$\frac{a-b}{15a^2b} \text{ и } \frac{a+b}{10ab^2}$$

   Наименьший общий знаменатель: $$30a^2b^2$$.

   $$\frac{a-b}{15a^2b}\cdot\frac{2b}{2b}=\frac{2ab-2b^2}{30a^2b^2}, \qquad \frac{a+b}{10ab^2}\cdot\frac{3a}{3a}=\frac{3a^2+3ab}{30a^2b^2}$$

6. е) $$\frac{3+q}{28p^4q^3} \text{ и } \frac{4-p}{35p^3q^4}$$

   Наименьший общий знаменатель: $$140p^4q^4$$.

   $$\frac{3+q}{28p^4q^3}\cdot\frac{5q}{5q}=\frac{15q+5q^2}{140p^4q^4}, \qquad \frac{4-p}{35p^3q^4}\cdot\frac{4p}{4p}=\frac{16p-4p^2}{140p^4q^4}$$

7. а) $$\frac{4n}{n-4} \text{ и } \frac{n+2}{n+4}$$

   Наименьший общий знаменатель: $$(n-4)(n+4)=n^2-16$$.

   $$\frac{4n}{n-4}\cdot\frac{n+4}{n+4}=\frac{4n^2+16n}{n^2-16}, \qquad \frac{n+2}{n+4}\cdot\frac{n-4}{n-4}=\frac{n^2-2n-8}{n^2-16}$$

8. б) $$\frac{7x^2}{3x-6} \text{ и } \frac{x-3}{5x-10}$$

   Так как $$3x-6=3(x-2)$$, $$5x-10=5(x-2)$$, наименьший общий знаменатель равен $$15(x-2)$$.

   $$\frac{7x^2}{3(x-2)}\cdot\frac{5}{5}=\frac{35x^2}{15(x-2)}, \qquad \frac{x-3}{5(x-2)}\cdot\frac{3}{3}=\frac{3x-9}{15(x-2)}$$

9. в) $$\frac{a-2}{ab+2a} \text{ и } \frac{b-2}{b^2+2b}$$

   Так как $$ab+2a=a(b+2)$$, $$b^2+2b=b(b+2)$$, наименьший общий знаменатель равен $$ab(b+2)$$.

   $$\frac{a-2}{a(b+2)}\cdot\frac{b}{b}=\frac{ab-2b}{ab(b+2)}, \qquad \frac{b-2}{b(b+2)}\cdot\frac{a}{a}=\frac{ab-2a}{ab(b+2)}$$

10. г) $$\frac{x+1}{x^2(x-1)} \text{ и } \frac{x+2}{x^2(x+1)}$$

    Наименьший общий знаменатель: $$x^2(x-1)(x+1)=x^2(x^2-1)$$.

    $$\frac{x+1}{x^2(x-1)}\cdot\frac{x+1}{x+1}=\frac{(x+1)^2}{x^2(x^2-1)}, \qquad \frac{x+2}{x^2(x+1)}\cdot\frac{x-1}{x-1}=\frac{x^2+x-2}{x^2(x^2-1)}$$

11. д) $$\frac{3c}{ac+a^2} \text{ и } \frac{a^2-ac+c^2}{a^2-ac}$$

    Так как $$ac+a^2=a(a+c)$$, $$a^2-ac=a(a-c)$$, наименьший общий знаменатель равен $$a(a+c)(a-c)=a(a^2-c^2)$$.

    $$\frac{3c}{a(a+c)}\cdot\frac{a-c}{a-c}=\frac{3c(a-c)}{a(a^2-c^2)}, \qquad \frac{a^2-ac+c^2}{a(a-c)}\cdot\frac{a+c}{a+c}=\frac{a^3+c^3}{a(a^2-c^2)}$$

12. е) $$\frac{1+x+x^2}{x+x^2} \text{ и } \frac{x+1}{x-x^2}$$

    Так как $$x+x^2=x(1+x)$$, $$x-x^2=x(1-x)$$, наименьший общий знаменатель равен $$x(1+x)(1-x)=x(1-x^2)$$.

    $$\frac{1+x+x^2}{x(1+x)}\cdot\frac{1-x}{1-x}=\frac{1-x^3}{x(1-x^2)}, \qquad \frac{x+1}{x(1-x)}\cdot\frac{1+x}{1+x}=\frac{(x+1)^2}{x(1-x^2)}$$

Ответ

а) $$\frac{ab+b^2}{2b^2}$$ и $$\frac{6a}{2b^2}$$;
б) $$\frac{3c-3x}{9x^2}$$ и $$\frac{4cx}{9x^2}$$;
в) $$\frac{5+q}{24p^3q^3}$$ и $$\frac{9q-3pq}{24p^3q^3}$$;
г) $$\frac{3kn-3k^2n^2}{45k^3n^2}$$ и $$\frac{k+n}{45k^3n^2}$$;
д) $$\frac{2ab-2b^2}{30a^2b^2}$$ и $$\frac{3a^2+3ab}{30a^2b^2}$$;
е) $$\frac{15q+5q^2}{140p^4q^4}$$ и $$\frac{16p-4p^2}{140p^4q^4}$$;

а) $$\frac{4n^2+16n}{n^2-16}$$ и $$\frac{n^2-2n-8}{n^2-16}$$;
б) $$\frac{35x^2}{15(x-2)}$$ и $$\frac{3x-9}{15(x-2)}$$;
в) $$\frac{ab-2b}{ab(b+2)}$$ и $$\frac{ab-2a}{ab(b+2)}$$;
г) $$\frac{(x+1)^2}{x^2(x^2-1)}$$ и $$\frac{x^2+x-2}{x^2(x^2-1)}$$;
д) $$\frac{3c(a-c)}{a(a^2-c^2)}$$ и $$\frac{a^3+c^3}{a(a^2-c^2)}$$;
е) $$\frac{1-x^3}{x(1-x^2)}$$ и $$\frac{(x+1)^2}{x(1-x^2)}$$.