Дополнительная задача 12 Глава 2 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

а) (n — 4)/(n + 1);
б) (2k — 3)/(k + 1);
в) (3m + 13)/(m + 2);
г) (3 — p)/(p — 1);
д) (3z + 10)/(3z + 2);
е) (11q — 10)/(2q — 1).

Подробный ответ

$$\frac{n-4}{n+1}=\frac{n+1-5}{n+1}=1-\frac{5}{n+1}.$$
Чтобы дробь была целым числом, нужно, чтобы $$\frac{5}{n+1}$$ было целым. Значит, $$n+1$$ должно быть делителем числа $$5$$:
$$n+1=\pm 1,\ \pm 5.$$
Так как $$n$$ — натуральное, подходит только $$n+1=5$$, откуда $$n=4$$.
$$\frac{2k-3}{k+1}=\frac{2(k+1)-5}{k+1}=2-\frac{5}{k+1}.$$
Следовательно, $$k+1$$ должно делить число $$5$$:
$$k+1=\pm 1,\ \pm 5.$$
Из натуральных значений подходит только $$k+1=5$$, значит $$k=4$$.
$$\frac{3m+13}{m+2}=\frac{3(m+2)+7}{m+2}=3+\frac{7}{m+2}.$$
Значит, $$m+2$$ должно делить число $$7$$:
$$m+2=\pm 1,\ \pm 7.$$
Из натуральных значений подходит только $$m+2=7$$, откуда $$m=5$$.
$$\frac{3-p}{p-1}=\frac{-(p-1)+2}{p-1}=-1+\frac{2}{p-1}.$$
Чтобы дробь была целой, число $$p-1$$ должно делить число $$2$$:
$$p-1=\pm 1,\ \pm 2.$$
Из натуральных значений получаем:
$$p-1=1 \Rightarrow p=2,$$
$$p-1=2 \Rightarrow p=3.$$
$$\frac{3z+10}{3z+2}=\frac{(3z+2)+8}{3z+2}=1+\frac{8}{3z+2}.$$
Следовательно, $$3z+2$$ должно делить число $$8$$:
$$3z+2=\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 4,\ \pm 8.$$
Из натуральных значений подходит только $$3z+2=8$$, откуда $$z=2$$.
$$\frac{11q-10}{2q-1}=\frac{5(2q-1)+\frac{5}{2}-10}{2q-1}$$
Удобнее представить так:
$$11q-10=5(2q-1)+\left(q-5\right),$$
но для целочисленности достаточно проверить делимость знаменателя. Запишем:
$$\frac{11q-10}{2q-1}=5+\frac{q-5}{2q-1}.$$
Чтобы дробь была целой, число $$2q-1$$ должно делить число $$q-5$$. Проверим возможные натуральные значения, при которых это возможно:
$$2q-1=\pm 1,\ \pm 3,\ \pm 9.$$
Из натуральных значений получаем:
$$2q-1=1 \Rightarrow q=1,$$
$$2q-1=3 \Rightarrow q=2,$$
$$2q-1=9 \Rightarrow q=5.$$