Дополнительная задача 12 Глава 3 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
Для выполнения упражнений 12—14 нарисуйте плоскую фигуру Т, ограниченную осью $$Ox$$, прямой $$x=9$$ и графиком функции $$y=\sqrt{x}$$ (такую фигуру называют криволинейным треугольником). Любой квадрат $$1\times1$$, координаты вершин которого — целые числа, для краткости назовём квадратиком.
- Найдите количество точек с целыми координатами, которые:
а) принадлежат фигуре Т и графику функции $$y=\sqrt{x}$$;
б) принадлежат границе фигуры Т;
в) принадлежат фигуре Т и прямой $$y=1$$;
г) принадлежат фигуре Т и прямой $$y=2$$;
д) принадлежат фигуре Т;
е) принадлежат фигуре Т, но не принадлежат границе фигуры Т, т. е. лежат внутри фигуры.
Точка с целыми координатами принадлежит графику $$y=\sqrt{x}$$ тогда и только тогда, когда $$x$$ — полный квадрат. В пределах фигуры $$T$$ это даёт точки:
$$(0;0),\ (1;1),\ (4;2),\ (9;3).$$
а) Таких точек 4.
б) Граница фигуры состоит из оси $$Ox$$, прямой $$x=9$$ и графика $$y=\sqrt{x}$$. Тогда на границе лежат точки:
$$(0;0),\ (1;0),\ (2;0),\ldots,(9;0),\ (9;1),\ (9;2),\ (9;3),\ (4;2),\ (1;1).$$
Всего:
$$10+3+2=15.$$
в) На прямой $$y=1$$ внутри фигуры лежат точки:
$$(1;1),\ (2;1),\ldots,(9;1).$$
Их 9.
г) На прямой $$y=2$$ внутри фигуры лежат точки:
$$(4;2),\ (5;2),\ (6;2),\ (7;2),\ (8;2),\ (9;2).$$
Их 6.
д) Все точки с целыми координатами, принадлежащие фигуре $$T$$:
на оси $$Ox$$ — 10 точек, на уровне $$y=1$$ — 9 точек, на уровне $$y=2$$ — 6 точек, на уровне $$y=3$$ — 1 точка.
Итого:
$$10+9+6+1=26.$$
е) Внутри фигуры, но не на границе, лежат точки:
$$(2;1),\ (3;1),\ (4;1),\ (5;1),\ (6;1),\ (7;1),\ (8;1),\ (5;2),\ (6;2),\ (7;2),\ (8;2).$$
Всего 11 точек.
Ответ
а) 4; б) 15; в) 9; г) 6; д) 26; е) 11.
