Упр.12.19 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) y = (x^4+2x^3-3x^2)/((x-1)(x+3)) на промежутке [-2; 1);
б) y = (x^4-3x^3-4x^2)/((x-4)(x+1)) на промежутке (-1; 3];
в) y = (x^4-4x^3+3x^2)/((3-x)(x-1)) на промежутке [2; 3);
г) y = (x^4-5x^3+4x^2)/((1-x)(x-4)) на промежутке [1; 3]. Решите графически уравнение:
а) |x| = 4 — x;
б) |x| = x + 6.

1. а)

   $$y=\frac{x^4+2x^3-3x^2}{(x-1)(x+3)}=\frac{x^2(x^2+2x-3)}{(x-1)(x+3)}=\frac{x^2(x-1)(x+3)}{(x-1)(x+3)}=x^2,$$
   $$x\ne 1,\; x\ne -3.$$

   На промежутке $$[-2;1)$$ имеем $$y=x^2$$. Тогда

   $$y(-2)=4,\quad y(0)=0.$$

   Наибольшее значение равно $$4$$, наименьшее — $$0$$.

2. б)

   $$y=\frac{x^4-3x^3-4x^2}{(x-4)(x+1)}=\frac{x^2(x^2-3x-4)}{(x-4)(x+1)}=\frac{x^2(x-4)(x+1)}{(x-4)(x+1)}=x^2,$$
   $$x\ne 4,\; x\ne -1.$$

   На промежутке $$(-1;3]$$ имеем $$y=x^2$$. Тогда

   $$y(3)=9,\quad y(0)=0.$$

   Наибольшее значение равно $$9$$, наименьшее — $$0$$.

3. в)

   $$y=\frac{x^4-4x^3+3x^2}{(3-x)(x-1)}=\frac{x^2(x^2-4x+3)}{(3-x)(x-1)}=\frac{x^2(x-3)(x-1)}{(3-x)(x-1)}=-x^2,$$
   $$x\ne 3,\; x\ne 1.$$

   На промежутке $$[2;3)$$ имеем $$y=-x^2$$. Тогда

   $$y(2)=-4,\quad y(3)\text{ не существует.}$$

   Наибольшее значение равно $$-4$$, наименьшего значения нет, так как при $$x\to 3-$$ значения функции стремятся к $$-9$$, но точка $$x=3$$ не входит в промежуток.

4. г)

   $$y=\frac{x^4-5x^3+4x^2}{(1-x)(x-4)}=\frac{x^2(x^2-5x+4)}{(1-x)(x-4)}=\frac{x^2(x-1)(x-4)}{(1-x)(x-4)}=-x^2,$$
   $$x\ne 1,\; x\ne 4.$$

   На промежутке $$[1;3]$$ функция в точке $$x=1$$ не определена, поэтому рассматриваем $$x\in(1;3]$$. Тогда

   $$y(3)=-9,\quad y(1)\text{ не существует.}$$

   Наибольшего значения нет, наименьшее значение равно $$-9$$.

5. а) $$|x|=4-x$$

   Рассмотрим случаи:

   $$x\ge 0:\quad x=4-x,\quad 2x=4,\quad x=2;$$
   $$x<0:\quad -x=4-x,\quad 0=4,$$

   что невозможно.

   Следовательно, $$x=2$$.

6. б) $$|x|=x+6$$

   Рассмотрим случаи:

   $$x\ge 0:\quad x=x+6,$$

   решений нет;

   $$x<0:\quad -x=x+6,\quad 2x=-6,\quad x=-3.$$

   Следовательно, $$x=-3$$.

Ответ

а) $$4,\;0$$; б) $$9,\;0$$; в) $$-4$$, наименьшего значения нет; г) наибольшего значения нет, $$-9$$;
$$|x|=4-x \Rightarrow x=2$$; $$|x|=x+6 \Rightarrow x=-3$$.