Упр.12.17 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович 8 класс, Мнемозина: 11.17. Докажите, что на графике функции у = корень 3 * x + корень 3 имеется только одна точка, у которой и абсцисса и ордината — целые числа. Постройте график этой функции.

Преобразуем уравнение графика:

$$y=\sqrt{3}\,x+\sqrt{3}$$

Если точка графика имеет целые координаты, то числа $$x$$ и $$y$$ — целые. Тогда из уравнения получаем:

$$y-\sqrt{3}=\sqrt{3}\,x$$

$$\frac{y-\sqrt{3}}{x}=\sqrt{3}$$

Правая часть — иррациональное число. Значит, при целых $$x$$ и $$y$$ такое равенство возможно только в одном случае, когда точка удовлетворяет уравнению графика и имеет целые координаты. Подставим $$x=-1$$:

$$y=\sqrt{3}\cdot(-1)+\sqrt{3}=0$$

Получаем точку $$(-1;0)$$.

Проверим, что других целочисленных точек нет: прямая имеет угловой коэффициент $$\sqrt{3}$$ и пересекает ось $$Oy$$ в точке $$\left(0;\sqrt{3}\right)$$. Так как $$\sqrt{3}$$ — иррациональное число, при любом целом $$x$$ значение $$y=\sqrt{3}(x+1)$$ будет целым только при $$x=-1$$, когда $$y=0$$.

Для построения графика достаточно отметить точки $$\left(0;\sqrt{3}\right)$$ и $$(-1;0)$$ и провести через них прямую.

Ответ

Единственная точка с целыми координатами: $$(-1;0)$$. График — прямая $$y=\sqrt{3}\,x+\sqrt{3}$$, проходящая через точки $$(-1;0)$$ и $$\left(0;\sqrt{3}\right)$$.