Упр.12.16 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю:
а) $$\frac{2p-q}{4p+2q}$$ и $$\frac{pq}{4p^2-q^2}$$;
б) $$\frac{3x^2}{x^2-9y^2}$$ и $$\frac{x+3y}{2x-6y}$$;
в) $$\frac{5y}{y^2-100}$$ и $$\frac{y^2-10y+100}{y^2-10y}$$;
г) $$\frac{t^2+6t+36}{t^3+6t^2}$$ и $$\frac{3t}{t^2-36}$$;
д) $$\frac{x+2}{x^2-9}$$ и $$\frac{x+3}{x^2-6x+9}$$;
е) $$\frac{a-5}{a^2+10a+25}$$ и $$\frac{a-1}{a^2-25}$$.
Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю:
а) $$\frac{7mn}{(n-m)(n+m)}$$, $$\frac{n^2}{n+m}$$, $$\frac{m^2}{n-m}$$;
б) $$\frac{a-2}{(a-3)(a+3)}$$, $$\frac{a^2}{a+3}$$, $$\frac{3}{a-3}$$;
в) $$\frac{6b}{25-b^2}$$, $$\frac{b-5}{b+5}$$, $$\frac{b+5}{b-5}$$;
г) $$\frac{a+x}{a-x}$$, $$\frac{2ax}{a^2-x^2}$$, $$\frac{a-x}{a+x}$$;
д) $$\frac{1}{(a-4)^2}$$, $$\frac{a^2+16}{a^2-16}$$, $$\frac{1}{(a+4)^2}$$;
е) $$\frac{y+1}{(1-y)^2}$$, $$\frac{1-y}{(1+y)^2}$$, $$\frac{y^2+1}{y^2-1}$$.
а) $$4p+2q=2(2p+q), \qquad 4p^2-q^2=(2p-q)(2p+q).$$
НОЗ: $$2(2p-q)(2p+q).$$
$$\frac{2p-q}{4p+2q}=\frac{2p-q}{2(2p+q)}=\frac{(2p-q)^2}{2(2p-q)(2p+q)}$$
$$\frac{pq}{4p^2-q^2}=\frac{2pq}{2(2p-q)(2p+q)}$$б) $$x^2-9y^2=(x-3y)(x+3y), \qquad 2x-6y=2(x-3y).$$
НОЗ: $$2(x-3y)(x+3y)=2(x^2-9y^2).$$
$$\frac{3x^2}{x^2-9y^2}=\frac{6x^2}{2(x^2-9y^2)}$$
$$\frac{x+3y}{2x-6y}=\frac{(x+3y)^2}{2(x^2-9y^2)}$$в) $$y^2-100=(y-10)(y+10), \qquad y^2-10y=y(y-10).$$
НОЗ: $$y(y-10)(y+10)=y(y^2-100).$$
$$\frac{5y}{y^2-100}=\frac{5y^2}{y(y^2-100)}$$
$$\frac{y^2-10y+100}{y^2-10y}=\frac{(y^2-10y+100)(y+10)}{y(y^2-100)}=\frac{y^3+1000}{y(y^2-100)}$$г) $$t^3+6t^2=t^2(t+6), \qquad t^2-36=(t-6)(t+6).$$
НОЗ: $$t^2(t-6)(t+6)=t^2(t^2-36).$$
$$\frac{t^2+6t+36}{t^3+6t^2}=\frac{(t^2+6t+36)(t-6)}{t^2(t+6)(t-6)}=\frac{t^3-216}{t^2(t^2-36)}$$
$$\frac{3t}{t^2-36}=\frac{3t^3}{t^2(t^2-36)}$$д) $$x^2-9=(x-3)(x+3), \qquad x^2-6x+9=(x-3)^2.$$
НОЗ: $$(x-3)^2(x+3).$$
$$\frac{x+2}{x^2-9}=\frac{(x+2)(x-3)}{(x-3)^2(x+3)}=\frac{x^2-x-6}{(x-3)^2(x+3)}$$
$$\frac{x+3}{x^2-6x+9}=\frac{(x+3)^2}{(x-3)^2(x+3)}$$е) $$a^2+10a+25=(a+5)^2, \qquad a^2-25=(a-5)(a+5).$$
НОЗ: $$(a+5)^2(a-5).$$
$$\frac{a-5}{a^2+10a+25}=\frac{(a-5)^2}{(a+5)^2(a-5)}$$
$$\frac{a-1}{a^2-25}=\frac{(a-1)(a+5)}{(a-5)(a+5)^2}=\frac{a^2+4a-5}{(a+5)^2(a-5)}$$
Ответ
а) $$\frac{(2p-q)^2}{2(2p-q)(2p+q)}, \qquad \frac{2pq}{2(2p-q)(2p+q)}$$
б) $$\frac{6x^2}{2(x^2-9y^2)}, \qquad \frac{(x+3y)^2}{2(x^2-9y^2)}$$
в) $$\frac{5y^2}{y(y^2-100)}, \qquad \frac{y^3+1000}{y(y^2-100)}$$
г) $$\frac{t^3-216}{t^2(t^2-36)}, \qquad \frac{3t^3}{t^2(t^2-36)}$$
д) $$\frac{x^2-x-6}{(x-3)^2(x+3)}, \qquad \frac{(x+3)^2}{(x-3)^2(x+3)}$$
е) $$\frac{(a-5)^2}{(a+5)^2(a-5)}, \qquad \frac{a^2+4a-5}{(a+5)^2(a-5)}$$
а) НОЗ: $$n^2-m^2.$$
$$\frac{7mn}{n^2-m^2}, \qquad \frac{n^2(n-m)}{n^2-m^2}, \qquad \frac{m^2(n+m)}{n^2-m^2}$$
б) НОЗ: $$a^2-9.$$
$$\frac{a-2}{a^2-9}, \qquad \frac{a^2(a-3)}{a^2-9}, \qquad \frac{3(a+3)}{a^2-9}$$
в) $$25-b^2=(5-b)(5+b), \qquad \text{НОЗ: } b^2-25.$$
$$\frac{-6b}{b^2-25}, \qquad \frac{(b-5)^2}{b^2-25}, \qquad \frac{(b+5)^2}{b^2-25}$$
г) НОЗ: $$a^2-x^2.$$
$$\frac{(a+x)^2}{a^2-x^2}, \qquad \frac{2ax}{a^2-x^2}, \qquad \frac{(a-x)^2}{a^2-x^2}$$
д) НОЗ: $$(a-4)^2(a+4)^2.$$
$$\frac{(a+4)^2}{(a-4)^2(a+4)^2}, \qquad \frac{a^4-256}{(a-4)^2(a+4)^2}, \qquad \frac{(a-4)^2}{(a-4)^2(a+4)^2}$$
е) $$1-y=-(y-1), \qquad 1+y=y+1.$$
НОЗ: $$(y-1)^2(y+1)^2.$$
$$\frac{(y+1)^3}{(y-1)^2(y+1)^2}, \qquad \frac{-(1-y)^3}{(y-1)^2(y+1)^2}, \qquad \frac{(y^2+1)(y^2-1)}{(y-1)^2(y+1)^2}=\frac{y^4-1}{(y-1)^2(y+1)^2}$$
