Упр.12.16 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович 8 класс, Мнемозина: 11.16. Докажите, что на графике функции у = корень 2 * х имеется только одна точка, у которой и абсцисса и ордината — целые числа. Постройте график этой функции.

Рассмотрим функцию $$y=\sqrt{2}\cdot x.$$

Если точка графика имеет целые координаты, то и $$x$$, и $$y$$ — целые числа. Тогда из уравнения

$$y=\sqrt{2}\cdot x$$

получаем

$$\frac{y}{x}=\sqrt{2}.$$

Число $$\sqrt{2}$$ иррационально, а отношение двух целых чисел $$\frac{y}{x}$$ при $$x\neq 0$$ — рационально. Значит, при $$x\neq 0$$ таких точек быть не может.

Проверим случай $$x=0$$: тогда

$$y=\sqrt{2}\cdot 0=0.$$

Следовательно, единственная точка графика с целыми абсциссой и ординатой — это $$\left(0;0\right).$$

График функции $$y=\sqrt{2}\cdot x$$ — прямая, проходящая через начало координат, с угловым коэффициентом $$\sqrt{2}$$. Для построения можно отметить точки $$\left(0;0\right)$$ и, например, $$\left(1;\sqrt{2}\right)$$ или $$\left(2;2\sqrt{2}\right)$$, а затем провести через них прямую.

Ответ

Единственная точка с целыми координатами: $$\left(0;0\right).$$ График — прямая $$y=\sqrt{2}\cdot x$$, проходящая через начало координат.