Упр.12.15 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

а) (a — b)/(a^3 + b^3) и 1/(a + b);
б) 9b/(27 — b^3) и 1/(3 — b);
в) (2x + 1)/(x^3 — 8) и (x + 2)/(x^2 + 2x + 4);
г) (t — y)/(t^3 + y^3) и (t + y)/(t^2 + y^2 — ty);
д) (c — 4)/(c^3 + 64) и 1/(c^2 — 16);
е) 1/(a — 1)^2 и (a + 1)/(a^3 — 1).
Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю:
а) (2p — q)/(4p + 2q) и pq/(4p^2 — q^2);
б) (3x^2)/(x^2 — 9y^2) и (x + 3y)/(2x — 6y);
в) 5y/(y^2 — 100) и (y^2 — 10y + 100)/(y^2 — 10y);
г) (t^2 + 6t + 36)/(t^3 + 6t^2) и 3t/(t^2 — 36);
д) (x + 2)/(x^2 — 9) и (x + 3)/(x^2 — 6x + 9);
е) (a — 5)/(a^2 + 10a + 25) и (a — 1)/(a^2 — 25).

Подробный ответ

а) $$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$, значит наименьший общий знаменатель равен $$a^3+b^3$$.
Тогда
$$\frac{a-b}{a^3+b^3}=\frac{a-b}{a^3+b^3}, \qquad \frac{1}{a+b}=\frac{a^2-ab+b^2}{(a+b)(a^2-ab+b^2)}=\frac{a^2-ab+b^2}{a^3+b^3}.$$
б) $$27-b^3=(3-b)(9+3b+b^2)$$, значит НОЗ равен $$27-b^3$$.
Тогда
$$\frac{9b}{27-b^3}=\frac{9b}{27-b^3}, \qquad \frac{1}{3-b}=\frac{9+3b+b^2}{(3-b)(9+3b+b^2)}=\frac{9+3b+b^2}{27-b^3}.$$
в) $$x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$$, значит НОЗ равен $$x^3-8$$.
Тогда
$$\frac{2x+1}{x^3-8}=\frac{2x+1}{x^3-8}, \qquad \frac{x+2}{x^2+2x+4}=\frac{(x+2)(x-2)}{(x^2+2x+4)(x-2)}=\frac{x^2-4}{x^3-8}.$$
г) $$t^3+y^3=(t+y)(t^2-ty+y^2)$$, значит НОЗ равен $$t^3+y^3$$.
Тогда
$$\frac{t-y}{t^3+y^3}=\frac{t-y}{t^3+y^3}, \qquad \frac{t+y}{t^2+y^2-ty}=\frac{(t+y)^2}{(t^2+y^2-ty)(t+y)}=\frac{(t+y)^2}{t^3+y^3}.$$
д) $$c^3+64=(c+4)(c^2-4c+16), \qquad c^2-16=(c-4)(c+4).$$
НОЗ равен $$\left(c^3+64\right)(c-4)$$.
Тогда
$$\frac{c-4}{c^3+64}=\frac{(c-4)^2}{(c^3+64)(c-4)}, \qquad \frac{1}{c^2-16}=\frac{c^2-4c+16}{(c-4)(c+4)(c^2-4c+16)}=\frac{c^2-4c+16}{(c^3+64)(c-4)}.$$
е) $$a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)$$, значит НОЗ равен $$\left(a^3-1\right)(a-1)$$.
Тогда
$$\frac{1}{(a-1)^2}=\frac{a^2+a+1}{(a-1)^2(a^2+a+1)}=\frac{a^2+a+1}{(a^3-1)(a-1)},$$
$$\frac{a+1}{a^3-1}=\frac{(a+1)(a-1)}{(a^3-1)(a-1)}=\frac{a^2-1}{(a^3-1)(a-1)}.$$
а) $$4p+2q=2(2p+q), \qquad 4p^2-q^2=(2p-q)(2p+q).$$
НОЗ равен $$2(2p-q)(2p+q)=2(4p^2-q^2)$$.
Тогда
$$\frac{2p-q}{4p+2q}=\frac{(2p-q)^2}{2(4p^2-q^2)}, \qquad \frac{pq}{4p^2-q^2}=\frac{2pq}{2(4p^2-q^2)}.$$
б) $$x^2-9y^2=(x-3y)(x+3y), \qquad 2x-6y=2(x-3y).$$
НОЗ равен $$2(x-3y)(x+3y)=2(x^2-9y^2)$$.
Тогда
$$\frac{3x^2}{x^2-9y^2}=\frac{6x^2}{2(x^2-9y^2)}, \qquad \frac{x+3y}{2x-6y}=\frac{(x+3y)^2}{2(x^2-9y^2)}.$$
в) $$y^2-100=(y-10)(y+10), \qquad y^2-10y=y(y-10).$$
НОЗ равен $$y(y-10)(y+10)=y(y^2-100)$$.
Тогда
$$\frac{5y}{y^2-100}=\frac{5y^2}{y(y^2-100)}, \qquad \frac{y^2-10y+100}{y^2-10y}=\frac{(y^2-10y+100)(y+10)}{y(y-10)(y+10)}=\frac{y^3+1000}{y(y^2-100)}.$$
г) $$t^3+6t^2=t^2(t+6), \qquad t^2-36=(t-6)(t+6).$$
НОЗ равен $$t^2(t-6)(t+6)=t^2(t^2-36)$$.
Тогда
$$\frac{t^2+6t+36}{t^3+6t^2}=\frac{(t^2+6t+36)(t-6)}{t^2(t+6)(t-6)}=\frac{t^3-216}{t^2(t^2-36)},$$
$$\frac{3t}{t^2-36}=\frac{3t\cdot t^2}{(t^2-36)t^2}=\frac{3t^3}{t^2(t^2-36)}.$$
д) $$x^2-9=(x-3)(x+3), \qquad x^2-6x+9=(x-3)^2.$$
НОЗ равен $$ (x-3)^2(x+3)$$.
Тогда
$$\frac{x+2}{x^2-9}=\frac{(x+2)(x-3)}{(x-3)(x+3)(x-3)}=\frac{x^2-x-6}{(x-3)^2(x+3)},$$
$$\frac{x+3}{x^2-6x+9}=\frac{(x+3)^2}{(x-3)^2(x+3)}.$$
е) $$a^2+10a+25=(a+5)^2, \qquad a^2-25=(a-5)(a+5).$$
НОЗ равен $$ (a+5)^2(a-5)$$.
Тогда
$$\frac{a-5}{a^2+10a+25}=\frac{(a-5)^2}{(a+5)^2(a-5)}, \qquad \frac{a-1}{a^2-25}=\frac{(a-1)(a+5)}{(a-5)(a+5)(a+5)}=\frac{a^2+4a-5}{(a+5)^2(a-5)}.$$