Упр.12.15 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

1. Пусть $$r$$ — рациональное число, $$\alpha$$ — иррациональное число. Рациональным или иррациональным является число: а) $$r+\alpha$$; б) $$\alpha^2$$; в) $$2\alpha$$; г) $$r^2-\alpha^2$$?

Пусть $$r$$ — рациональное число, $$\alpha$$ — иррациональное число.

1. $$r+\alpha$$ — иррациональное число, так как сумма рационального и иррационального чисел всегда иррациональна.
2. $$\alpha^2$$ — может быть рациональным или иррациональным. Например, $$\left(\sqrt{3}\right)^2=3$$ — рациональное число, а $$\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{9}$$ — тоже рациональное; при этом для некоторых иррациональных $$\alpha$$ квадрат может оставаться иррациональным.
3. $$2\alpha$$ — иррациональное число, так как произведение ненулевого рационального числа и иррационального числа иррационально.
4. $$r^2-\alpha^2$$ — может быть рациональным, а может быть иррациональным.

Ответ

а) иррациональное; б) может быть рациональным или иррациональным; в) иррациональное; г) может быть рациональным или иррациональным.