Упр.12.14 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю:
а) $$\frac{x-1}{x+1}$$ и $$\frac{5x^3}{x^2-1}$$;
б) $$\frac{km}{k^2-m^2}$$ и $$\frac{k+m}{k-m}$$;
в) $$\frac{2mn}{m^2-n^2}$$ и $$\frac{m^2+mn+n^2}{-n-m}$$;
г) $$\frac{6y}{y^2-36}$$ и $$\frac{y^2-6y+36}{6-y}$$;
д) $$\frac{x+y}{x-y}$$ и $$\frac{x^2y}{x^2-2xy+y^2}$$;
е) $$\frac{p^2q^2}{(p+q)^3}$$ и $$\frac{q-p}{p^2+2pq+q^2}$$.
Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю:
а) $$\frac{a-b}{a^3+b^3}$$ и $$\frac{1}{a+b}$$;
б) $$\frac{9b}{27-b^3}$$ и $$\frac{1}{3-b}$$;
в) $$\frac{2x+1}{x^3-8}$$ и $$\frac{x+2}{x^2+2x+4}$$;
г) $$\frac{t-y}{t^3+y^3}$$ и $$\frac{t+y}{t^2+y^2-ty}$$;
д) $$\frac{c-4}{c^3+64}$$ и $$\frac{1}{c^2-16}$$;
е) $$\frac{1}{(a-1)^2}$$ и $$\frac{a+1}{a^3-1}$$.
а) $$x^2-1=(x-1)(x+1),$$ значит НОЗ равен $$x^2-1.$$
$$\frac{x-1}{x+1}=\frac{(x-1)^2}{x^2-1}, \qquad \frac{5x^3}{x^2-1}=\frac{5x^3}{x^2-1}.$$
б) $$k^2-m^2=(k-m)(k+m),$$ значит НОЗ равен $$k^2-m^2.$$
$$\frac{km}{k^2-m^2}=\frac{km}{k^2-m^2}, \qquad \frac{k+m}{k-m}=\frac{(k+m)^2}{k^2-m^2}.$$
в) $$m^2-n^2=(m-n)(m+n), \qquad -n-m=-(m+n),$$ значит НОЗ равен $$n^2-m^2.$$
$$\frac{2mn}{m^2-n^2}=\frac{-2mn}{n^2-m^2}, \qquad \frac{m^2+mn+n^2}{-n-m}=\frac{m^3-n^3}{n^2-m^2}.$$
г) $$y^2-36=(y-6)(y+6), \qquad 6-y=-(y-6),$$ значит НОЗ равен $$36-y^2.$$
$$\frac{6y}{y^2-36}=\frac{-6y}{36-y^2}, \qquad \frac{y^2-6y+36}{6-y}=\frac{y^3+216}{36-y^2}.$$
д) $$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2,$$ значит НОЗ равен $$\left(x-y\right)^2.$$
$$\frac{x+y}{x-y}=\frac{x^2-y^2}{(x-y)^2}, \qquad \frac{x^2y}{x^2-2xy+y^2}=\frac{x^2y}{(x-y)^2}.$$
е) $$p^2+2pq+q^2=(p+q)^2,$$ значит НОЗ равен $$\left(p+q\right)^3.$$
$$\frac{p^2q^2}{(p+q)^3}=\frac{p^2q^2}{(p+q)^3}, \qquad \frac{q-p}{p^2+2pq+q^2}=\frac{(q-p)(p+q)}{(p+q)^3}=\frac{q^2-p^2}{(p+q)^3}.$$
а) $$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2),$$ значит НОЗ равен $$a^3+b^3.$$
$$\frac{a-b}{a^3+b^3}=\frac{a-b}{a^3+b^3}, \qquad \frac{1}{a+b}=\frac{a^2-ab+b^2}{a^3+b^3}.$$
б) $$27-b^3=(3-b)(9+3b+b^2),$$ значит НОЗ равен $$27-b^3.$$
$$\frac{9b}{27-b^3}=\frac{9b}{27-b^3}, \qquad \frac{1}{3-b}=\frac{9+3b+b^2}{27-b^3}.$$
в) $$x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4),$$ значит НОЗ равен $$x^3-8.$$
$$\frac{2x+1}{x^3-8}=\frac{2x+1}{x^3-8}, \qquad \frac{x+2}{x^2+2x+4}=\frac{(x+2)(x-2)}{x^3-8}=\frac{x^2-4}{x^3-8}.$$
г) $$t^3+y^3=(t+y)(t^2-ty+y^2),$$ значит НОЗ равен $$t^3+y^3.$$
$$\frac{t-y}{t^3+y^3}=\frac{t-y}{t^3+y^3}, \qquad \frac{t+y}{t^2+y^2-ty}=\frac{(t+y)^2}{t^3+y^3}.$$
д) $$c^3+64=(c+4)(c^2-4c+16), \qquad c^2-16=(c-4)(c+4),$$ значит НОЗ равен $$\left(c^3+64\right)(c-4).$$
$$\frac{c-4}{c^3+64}=\frac{(c-4)^2}{(c^3+64)(c-4)}, \qquad \frac{1}{c^2-16}=\frac{c^2-4c+16}{(c^3+64)(c-4)}.$$
е) $$a^3-1=(a-1)(a^2+a+1),$$ значит НОЗ равен $$\left(a^3-1\right)(a-1).$$
$$\frac{1}{(a-1)^2}=\frac{a^2+a+1}{(a^3-1)(a-1)}, \qquad \frac{a+1}{a^3-1}=\frac{(a+1)(a-1)}{(a^3-1)(a-1)}=\frac{a^2-1}{(a^3-1)(a-1)}.$$
Ответ
а) $$\frac{(x-1)^2}{x^2-1}$$ и $$\frac{5x^3}{x^2-1}$$;
б) $$\frac{km}{k^2-m^2}$$ и $$\frac{(k+m)^2}{k^2-m^2}$$;
в) $$\frac{-2mn}{n^2-m^2}$$ и $$\frac{m^3-n^3}{n^2-m^2}$$;
г) $$\frac{-6y}{36-y^2}$$ и $$\frac{y^3+216}{36-y^2}$$;
д) $$\frac{x^2-y^2}{(x-y)^2}$$ и $$\frac{x^2y}{(x-y)^2}$$;
е) $$\frac{p^2q^2}{(p+q)^3}$$ и $$\frac{q^2-p^2}{(p+q)^3}$$.
а) $$\frac{a-b}{a^3+b^3}$$ и $$\frac{a^2-ab+b^2}{a^3+b^3}$$;
б) $$\frac{9b}{27-b^3}$$ и $$\frac{9+3b+b^2}{27-b^3}$$;
в) $$\frac{2x+1}{x^3-8}$$ и $$\frac{x^2-4}{x^3-8}$$;
г) $$\frac{t-y}{t^3+y^3}$$ и $$\frac{(t+y)^2}{t^3+y^3}$$;
д) $$\frac{(c-4)^2}{(c^3+64)(c-4)}$$ и $$\frac{c^2-4c+16}{(c^3+64)(c-4)}$$;
е) $$\frac{a^2+a+1}{(a^3-1)(a-1)}$$ и $$\frac{a^2-1}{(a^3-1)(a-1)}$$.
