Упр.12.14 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович 8 класс, Мнемозина: 11.14. Докажите, что произведение рационального (отличного от нуля) и иррационального чисел есть число иррациональное.

Пусть $$x$$ — рациональное число, причём $$x \ne 0$$, а $$y$$ — иррациональное число.

Предположим противное: произведение $$xy$$ — рациональное число. Обозначим его через $$z$$, то есть $$xy=z$$, где $$z$$ — рациональное.

Тогда

$$y=\frac{z}{x}.$$

Так как $$z$$ и $$x$$ — рациональные числа, причём $$x \ne 0$$, то $$\frac{z}{x}$$ — рациональное число. Получаем, что $$y$$ рационально, что противоречит условию.

Следовательно, произведение рационального ненулевого и иррационального чисел является иррациональным.

Ответ

Произведение рационального числа, отличного от нуля, и иррационального числа — иррациональное число.