Упр.12.13 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
а) 4n/(n — 4) и (n + 2)/(n + 4);
б) (7x^2)/(3x — 6) и (x — 3)/(5x — 10);
в) (a — 2)/(ab + 2a) и (b — 2)/(b^2 + 2b);
г) (x + 1)/(x^2 (x — 1)) и (x + 2)/(x^2 (x + 1));
д) 3c/(ac + a^2) и (a^2 — ac + c^2)/(a^2 — ac);
е) (1 + x + x^2)/(x + x^2) и (x + 1)/(x — x^2).
Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю:
а) (x — 1)/(x + 1) и (5x^3)/(x^2 — 1);
б) km/(k^2 — m^2) и (k + m)/(k — m);
в) 2mn/(m^2 — n^2) и (m^2 + mn + n^2)/(-n — m);
г) 6y/(y^2 — 36) и (y^2 — 6y + 36)/(6 — y);
д) (x + y)/(x — y) и (x^2 y)/(x^2 — 2xy + y^2);
е) (p^2 q^2)/(p + q)^3 и (q — p)/(p^2 + 2pq + q^2).
а) $$\frac{4n}{n-4}$$ и $$\frac{n+2}{n+4}$$
Наименьший общий знаменатель:
$$ (n-4)(n+4)=n^2-16 $$
Тогда:
$$\frac{4n}{n-4}=\frac{4n(n+4)}{(n-4)(n+4)}=\frac{4n^2+16n}{n^2-16}$$
$$\frac{n+2}{n+4}=\frac{(n+2)(n-4)}{(n-4)(n+4)}=\frac{n^2-2n-8}{n^2-16}$$б) $$\frac{7x^2}{3x-6}$$ и $$\frac{x-3}{5x-10}$$
Так как $$3x-6=3(x-2)$$, а $$5x-10=5(x-2)$$, наименьший общий знаменатель равен $$15(x-2)$$.
Тогда:
$$\frac{7x^2}{3x-6}=\frac{7x^2\cdot 5}{15(x-2)}=\frac{35x^2}{15(x-2)}$$
$$\frac{x-3}{5x-10}=\frac{(x-3)\cdot 3}{15(x-2)}=\frac{3x-9}{15(x-2)}$$в) $$\frac{a-2}{ab+2a}$$ и $$\frac{b-2}{b^2+2b}$$
Так как $$ab+2a=a(b+2)$$, а $$b^2+2b=b(b+2)$$, наименьший общий знаменатель равен $$ab(b+2)$$.
Тогда:
$$\frac{a-2}{ab+2a}=\frac{(a-2)b}{a(b+2)b}=\frac{ab-2b}{ab(b+2)}$$
$$\frac{b-2}{b^2+2b}=\frac{(b-2)a}{b(b+2)a}=\frac{ab-2a}{ab(b+2)}$$г) $$\frac{x+1}{x^2(x-1)}$$ и $$\frac{x+2}{x^2(x+1)}$$
Наименьший общий знаменатель:
$$x^2(x-1)(x+1)=x^2(x^2-1)$$
Тогда:
$$\frac{x+1}{x^2(x-1)}=\frac{(x+1)(x+1)}{x^2(x-1)(x+1)}=\frac{(x+1)^2}{x^2(x^2-1)}$$
$$\frac{x+2}{x^2(x+1)}=\frac{(x+2)(x-1)}{x^2(x+1)(x-1)}=\frac{x^2+x-2}{x^2(x^2-1)}$$д) $$\frac{3c}{ac+a^2}$$ и $$\frac{a^2-ac+c^2}{a^2-ac}$$
Так как $$ac+a^2=a(c+a)$$, а $$a^2-ac=a(a-c)$$, наименьший общий знаменатель равен $$a(a+c)(a-c)=a(a^2-c^2)$$.
Тогда:
$$\frac{3c}{ac+a^2}=\frac{3c(a-c)}{a(a+c)(a-c)}=\frac{3c(a-c)}{a(a^2-c^2)}$$
$$\frac{a^2-ac+c^2}{a^2-ac}=\frac{(a^2-ac+c^2)(a+c)}{a(a-c)(a+c)}=\frac{a^3+c^3}{a(a^2-c^2)}$$е) $$\frac{1+x+x^2}{x+x^2}$$ и $$\frac{x+1}{x-x^2}$$
Так как $$x+x^2=x(1+x)$$, а $$x-x^2=x(1-x)$$, наименьший общий знаменатель равен $$x(1+x)(1-x)=x(1-x^2)$$.
Тогда:
$$\frac{1+x+x^2}{x+x^2}=\frac{(1+x+x^2)(1-x)}{x(1+x)(1-x)}=\frac{1-x^3}{x(1-x^2)}$$
$$\frac{x+1}{x-x^2}=\frac{(x+1)(1+x)}{x(1-x)(1+x)}=\frac{(x+1)^2}{x(1-x^2)}$$
Ход решения
а) $$\frac{x-1}{x+1}$$ и $$\frac{5x^3}{x^2-1}$$
Так как $$x^2-1=(x-1)(x+1)$$, наименьший общий знаменатель равен $$x^2-1$$.
Тогда:
$$\frac{x-1}{x+1}=\frac{(x-1)(x-1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{(x-1)^2}{x^2-1}$$
$$\frac{5x^3}{x^2-1}=\frac{5x^3}{x^2-1}$$б) $$\frac{km}{k^2-m^2}$$ и $$\frac{k+m}{k-m}$$
Так как $$k^2-m^2=(k-m)(k+m)$$, наименьший общий знаменатель равен $$k^2-m^2$$.
Тогда:
$$\frac{km}{k^2-m^2}=\frac{km}{k^2-m^2}$$
$$\frac{k+m}{k-m}=\frac{(k+m)(k+m)}{(k-m)(k+m)}=\frac{(k+m)^2}{k^2-m^2}$$в) $$\frac{2mn}{m^2-n^2}$$ и $$\frac{m^2+mn+n^2}{-n-m}$$
Так как $$m^2-n^2=(m-n)(m+n)$$, а $$-n-m=-(m+n)$$, наименьший общий знаменатель равен $$n^2-m^2$$.
Тогда:
$$\frac{2mn}{m^2-n^2}=\frac{-2mn}{n^2-m^2}$$
$$\frac{m^2+mn+n^2}{-n-m}=\frac{(m^2+mn+n^2)(m-n)}{-(m+n)(m-n)}=\frac{m^3-n^3}{n^2-m^2}$$г) $$\frac{6y}{y^2-36}$$ и $$\frac{y^2-6y+36}{6-y}$$
Так как $$y^2-36=(y-6)(y+6)$$, а $$6-y=-(y-6)$$, наименьший общий знаменатель равен $$36-y^2$$.
Тогда:
$$\frac{6y}{y^2-36}=\frac{6y\cdot(-1)}{(y^2-36)\cdot(-1)}=\frac{-6y}{36-y^2}$$
$$\frac{y^2-6y+36}{6-y}=\frac{(y^2-6y+36)(y+6)}{-(y-6)(y+6)}=\frac{y^3+216}{36-y^2}$$д) $$\frac{x+y}{x-y}$$ и $$\frac{x^2y}{x^2-2xy+y^2}$$
Так как $$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$$, наименьший общий знаменатель равен $$ (x-y)^2 $$.
Тогда:
$$\frac{x+y}{x-y}=\frac{(x+y)(x-y)}{(x-y)(x-y)}=\frac{x^2-y^2}{(x-y)^2}$$
$$\frac{x^2y}{x^2-2xy+y^2}=\frac{x^2y}{(x-y)^2}$$е) $$\frac{p^2q^2}{(p+q)^3}$$ и $$\frac{q-p}{p^2+2pq+q^2}$$
Так как $$p^2+2pq+q^2=(p+q)^2$$, наименьший общий знаменатель равен $$ (p+q)^3 $$.
Тогда:
$$\frac{p^2q^2}{(p+q)^3}=\frac{p^2q^2}{(p+q)^3}$$
$$\frac{q-p}{p^2+2pq+q^2}=\frac{(q-p)(p+q)}{(p+q)^2(p+q)}=\frac{q^2-p^2}{(p+q)^3}$$
Ответ
а) $$\frac{4n^2+16n}{n^2-16}$$ и $$\frac{n^2-2n-8}{n^2-16}$$;
б) $$\frac{35x^2}{15(x-2)}$$ и $$\frac{3x-9}{15(x-2)}$$;
в) $$\frac{ab-2b}{ab(b+2)}$$ и $$\frac{ab-2a}{ab(b+2)}$$;
г) $$\frac{(x+1)^2}{x^2(x^2-1)}$$ и $$\frac{x^2+x-2}{x^2(x^2-1)}$$;
д) $$\frac{3c(a-c)}{a(a^2-c^2)}$$ и $$\frac{a^3+c^3}{a(a^2-c^2)}$$;
е) $$\frac{1-x^3}{x(1-x^2)}$$ и $$\frac{(x+1)^2}{x(1-x^2)}$$.
а) $$\frac{(x-1)^2}{x^2-1}$$ и $$\frac{5x^3}{x^2-1}$$;
б) $$\frac{km}{k^2-m^2}$$ и $$\frac{(k+m)^2}{k^2-m^2}$$;
в) $$\frac{-2mn}{n^2-m^2}$$ и $$\frac{m^3-n^3}{n^2-m^2}$$;
г) $$\frac{-6y}{36-y^2}$$ и $$\frac{y^3+216}{36-y^2}$$;
д) $$\frac{x^2-y^2}{(x-y)^2}$$ и $$\frac{x^2y}{(x-y)^2}$$;
е) $$\frac{p^2q^2}{(p+q)^3}$$ и $$\frac{q^2-p^2}{(p+q)^3}$$.
