Упр.12.13 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович 8 класс, Мнемозина: 11.13. Докажите, что сумма рационального и иррационального чисел есть число иррациональное.

Пусть $$x$$ — рациональное число, а $$y$$ — иррациональное число. Предположим, что их сумма $$x+y=z$$ — рациональное число.

Тогда

$$y=z-x.$$

Но раз $$z$$ и $$x$$ — рациональные числа, то и разность $$z-x$$ должна быть рациональной. Получаем противоречие с тем, что $$y$$ — иррациональное число.

Следовательно, сумма рационального и иррационального чисел не может быть рациональным числом, то есть она иррациональна.

Ответ

Сумма рационального и иррационального чисел — иррациональное число.