Упр.114 Итоговое повторение ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович 8 класс, Мнемозина: 114. Решите уравнение методом введения новой переменной:

1. а)

   $$\frac{3}{x^2-2x-2}-x^2+2x=0$$
   $$\frac{3}{x^2-2x-2}-(x^2-2x)=0$$
   Пусть $$x^2-2x=y$$. Тогда
   $$\frac{3}{y-2}-y=0,$$
   где $$y\ne 2$$.

   Умножим на $$y-2$$:
   $$3-y(y-2)=0$$
   $$3-y^2+2y=0$$
   $$y^2-2y-3=0$$
   $$\left(y-3\right)\left(y+1\right)=0.$$
   Отсюда $$y_1=3$$, $$y_2=-1$$.

   1) $$x^2-2x=3$$
   $$x^2-2x-3=0$$
   $$\left(x-3\right)\left(x+1\right)=0,$$
   значит, $$x=3$$ или $$x=-1$$.

   2) $$x^2-2x=-1$$
   $$x^2-2x+1=0$$
   $$\left(x-1\right)^2=0,$$
   значит, $$x=1$$.

   Ответ: $$x=-1,\;1,\;3$$.

2. б)

   $$\frac{x}{x^2-2}+\frac{6(x^2-2)}{x}=7$$
   Пусть $$\frac{x}{x^2-2}=y$$. Тогда
   $$y+\frac{6}{y}=7,$$
   где $$y\ne 0$$.

   Умножим на $$y$$:
   $$y^2-7y+6=0$$
   $$\left(y-1\right)\left(y-6\right)=0.$$
   Значит, $$y_1=1$$, $$y_2=6$$.

   1) $$\frac{x}{x^2-2}=1$$
   $$x=x^2-2$$
   $$x^2-x-2=0$$
   $$\left(x-2\right)\left(x+1\right)=0,$$
   значит, $$x=2$$ или $$x=-1$$.

   2) $$\frac{x}{x^2-2}=6$$
   $$x=6(x^2-2)$$
   $$6x^2-x-12=0$$
   $$D=1+288=289=17^2$$
   $$x=\frac{1\pm 17}{12}.$$
   Тогда $$x=\frac{3}{2}$$ или $$x=-\frac{4}{3}$$.

   Ответ: $$x=-\frac{4}{3},\;-1,\;\frac{3}{2},\;2$$.

3. в)

   $$1-\frac{15}{(x^2-4x)^2}=\frac{2}{x^2-4x}$$
   Обозначим $$x^2-4x=y$$, где $$y\ne 0$$.
   Тогда
   $$1-\frac{15}{y^2}=\frac{2}{y}.$$

   Умножим на $$y^2$$:
   $$y^2-15=2y$$
   $$y^2-2y-15=0$$
   $$\left(y-5\right)\left(y+3\right)=0.$$
   Значит, $$y_1=5$$, $$y_2=-3$$.

   1) $$x^2-4x=5$$
   $$x^2-4x-5=0$$
   $$\left(x-5\right)\left(x+1\right)=0,$$
   значит, $$x=5$$ или $$x=-1$$.

   2) $$x^2-4x=-3$$
   $$x^2-4x+3=0$$
   $$\left(x-1\right)\left(x-3\right)=0,$$
   значит, $$x=1$$ или $$x=3$$.

   Ответ: $$x=-1,\;1,\;3,\;5$$.

4. г)

   $$\frac{x-3}{x^2+10x+27}+\frac{x^2+10x+27}{x-3}=-2$$
   Обозначим
   $$\frac{x-3}{x^2+10x+27}=y,$$
   где $$y\ne 0$$.
   Тогда
   $$y+\frac{1}{y}=-2.$$

   Умножим на $$y$$:
   $$y^2+2y+1=0$$
   $$\left(y+1\right)^2=0,$$
   значит, $$y=-1$$.

   Тогда
   $$\frac{x-3}{x^2+10x+27}=-1$$
   $$x-3=-(x^2+10x+27)$$
   $$x^2+11x+24=0$$
   $$\left(x+3\right)\left(x+8\right)=0.$$
   Отсюда $$x=-3$$ или $$x=-8$$.

   Ответ: $$x=-8,\;-3$$.