Упр.110 Итоговое повторение ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович 8 класс, Мнемозина: 110. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения не зависит от значения переменной:

Подробный ответ

а) Преобразуем выражение:

$$ \frac{c+5}{c^2-64}:\left(\frac{4}{c+8}-\frac{12}{c^2+16c+64}\right)+\frac{4}{8-c} $$

$$ c^2-64=(c-8)(c+8), \qquad c^2+16c+64=(c+8)^2 $$

$$ \frac{4}{c+8}-\frac{12}{(c+8)^2} =\frac{4(c+8)-12}{(c+8)^2} =\frac{4c+20}{(c+8)^2} =\frac{4(c+5)}{(c+8)^2} $$

$$ \frac{c+5}{(c-8)(c+8)}:\frac{4(c+5)}{(c+8)^2} =\frac{c+5}{(c-8)(c+8)}\cdot\frac{(c+8)^2}{4(c+5)} =\frac{c+8}{4(c-8)} $$

$$ \frac{c+8}{4(c-8)}+\frac{4}{8-c} =\frac{c+8}{4(c-8)}-\frac{4}{c-8} =\frac{c+8-16}{4(c-8)} =\frac{c-8}{4(c-8)} =\frac14 $$

Значение выражения не зависит от $c$.

б) Преобразуем выражение:

$$ \left(\frac{4}{x-7}+\frac{14}{x^2-14x+49}\right)\cdot\frac{x^2-49}{2x-7}-\frac{7x-21}{x-7} $$

$$ x^2-14x+49=(x-7)^2, \qquad x^2-49=(x-7)(x+7), \qquad 7x-21=7(x-3) $$

$$ \frac{4}{x-7}+\frac{14}{(x-7)^2} =\frac{4(x-7)+14}{(x-7)^2} =\frac{4x-14}{(x-7)^2} =\frac{2(2x-7)}{(x-7)^2} $$