Упр.11.8 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) ((x — 1)^2 + 2(x + 1) — (x^2 + 3))/(x^2 + 1);
б) (16 + x(x + 8) — (x + 4)^2)/(x^2 + 4).
Найдите все натуральные значения n, при которых алгебраическая дробь является натуральным числом:
а) (n + 5)/n;
б) (n + 11)/n;
в) (8 — n)/n;
г) (12 — n)/n;
д) (3n + 7)/n;
е) (60 — 11n)/n.

а) Упростим числитель:

$$ (x-1)^2+2(x+1)-(x^2+3)=x^2-2x+1+2x+2-x^2-3=0. $$

Тогда

$$ \frac{(x-1)^2+2(x+1)-(x^2+3)}{x^2+1}=\frac{0}{x^2+1}=0. $$

Так как $$x^2+1>0$$ при любых $$x$$, дробь равна нулю при любых значениях переменной.

б) Упростим числитель:

$$ 16+x(x+8)-(x+4)^2=16+x^2+8x-(x^2+8x+16)=0. $$

Тогда

$$ \frac{16+x(x+8)-(x+4)^2}{x^2+4}=\frac{0}{x^2+4}=0. $$

Так как $$x^2+4>0$$ при любых $$x$$, дробь равна нулю при любых значениях переменной.

Найдём натуральные значения $$n$$, при которых дробь является натуральным числом.

а)

$$ \frac{n+5}{n}=1+\frac{5}{n}. $$

Чтобы значение было натуральным, число $$\frac{5}{n}$$ должно быть натуральным. Значит, $$n$$ — делитель числа $$5$$:

$$ n=1,\ 5. $$

б)

$$ \frac{n+11}{n}=1+\frac{11}{n}. $$

Тогда $$n$$ — делитель числа $$11$$:

$$ n=1,\ 11. $$

в)

$$ \frac{8-n}{n}=\frac{8}{n}-1. $$

Нужно, чтобы $$\frac{8}{n}$$ было натуральным и результат оставался натуральным. Подходят делители числа $$8$$, при которых значение положительно:

$$ n=1,\ 2,\ 4. $$

г)

$$ \frac{12-n}{n}=\frac{12}{n}-1. $$

Подходят делители числа $$12$$, при которых значение положительно:

$$ n=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6. $$

д)

$$ \frac{3n+7}{n}=3+\frac{7}{n}. $$

Чтобы значение было натуральным, число $$\frac{7}{n}$$ должно быть натуральным. Значит, $$n$$ — делитель числа $$7$$:

$$ n=1,\ 7. $$

е)

$$ \frac{60-11n}{n}=\frac{60}{n}-11. $$

Нужно, чтобы $$\frac{60}{n}$$ было натуральным и результат оставался натуральным. Проверяем делители числа $$60$$, при которых значение положительно:

$$ n=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5. $$

Ответ

а) при любых $$x$$; б) при любых $$x$$; а) $$n=1,5$$; б) $$n=1,11$$; в) $$n=1,2,4$$; г) $$n=1,2,3,4,6$$; д) $$n=1,7$$; е) $$n=1,2,3,4,5$$.