Упр.11.7 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) x^2/(x^2 + 1);
б) (x^2 + 1)/x^2;
в) (a — 4)/(a^2 (a^2 + 2));
г) (2a + 1)/((a^2 + 3)(a — 1));
д) (2a + 3)^2/((4a^2 + 9)(4a^2 — 9));
е) (4a^2 — 4a + 1)/((4a^2 — 1)(4a^2 + 1)).
Докажите, что при любых значениях переменной значение алгебраической дроби:
а) (y^2 + 2)/2 положительно;
б) -1/(x^2 + 5) отрицательно;
в) x^2/(x^2 + 1) неотрицательно;
г) (x — 1)^2/(-10) неположительно.

Дробь определена тогда и только тогда, когда её знаменатель не равен нулю.

1. $$\frac{x^2}{x^2+1}$$

   $$x^2+1\ne 0$$

   Но при любом $$x$$ имеем $$x^2\ge 0$$, значит $$x^2+1>0$$. Следовательно, дробь определена при любых значениях $$x$$.

   Ответ: $$(-\infty;+\infty)$$.

2. $$\frac{x^2+1}{x^2}$$

   $$x^2\ne 0$$

   Отсюда $$x\ne 0$$.

   Ответ: $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$.

3. $$\frac{a-4}{a^2(a^2+2)}$$

   $$a^2(a^2+2)\ne 0$$

   Значит, $$a^2\ne 0$$, то есть $$a\ne 0$$. Уравнение $$a^2+2=0$$ не имеет действительных решений.

   Ответ: $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$.

4. $$\frac{2a+1}{(a^2+3)(a-1)}$$

   $$ (a^2+3)(a-1)\ne 0 $$

   Так как $$a^2+3>0$$ при любом $$a$$, остаётся условие $$a-1\ne 0$$, то есть $$a\ne 1$$.

   Ответ: $$(-\infty;1)\cup(1;+\infty)$$.

5. $$\frac{(2a+3)^2}{(4a^2+9)(4a^2-9)}$$

   $$ (4a^2+9)(4a^2-9)\ne 0 $$

   Так как $$4a^2+9>0$$ при любом $$a$$, нужно только

   $$4a^2-9\ne 0$$

   $$4a^2\ne 9$$

   $$a\ne \pm \frac{3}{2}$$

   Ответ: $$(-\infty;-\tfrac{3}{2})\cup(-\tfrac{3}{2};\tfrac{3}{2})\cup(\tfrac{3}{2};+\infty)$$.

6. $$\frac{4a^2-4a+1}{(4a^2-1)(4a^2+1)}$$

   $$ (4a^2-1)(4a^2+1)\ne 0 $$

   Так как $$4a^2+1>0$$ при любом $$a$$, остаётся

   $$4a^2-1\ne 0$$

   $$4a^2\ne 1$$

   $$a\ne \pm \frac{1}{2}$$

   Ответ: $$(-\infty;-\tfrac{1}{2})\cup(-\tfrac{1}{2};\tfrac{1}{2})\cup(\tfrac{1}{2};+\infty)$$.

Ход решения

1. $$\frac{y^2+2}{2}$$

   Так как $$y^2\ge 0$$, то $$y^2+2>0$$. Деление на положительное число $$2$$ сохраняет знак, значит

   $$\frac{y^2+2}{2}>0$$

   при любых $$y$$.

2. $$-\frac{1}{x^2+5}$$

   Так как $$x^2+5>0$$ при любых $$x$$, то

   $$-\frac{1}{x^2+5}<0$$

   при любых $$x$$.

3. $$\frac{x^2}{x^2+1}$$

   Числитель $$x^2\ge 0$$, знаменатель $$x^2+1>0$$, значит

   $$\frac{x^2}{x^2+1}\ge 0$$

   при любых $$x$$.

4. $$\frac{(x-1)^2}{-10}$$

   Так как $$ (x-1)^2\ge 0 $$, а $$-10<0$$, то

   $$\frac{(x-1)^2}{-10}\le 0$$

   при любых $$x$$.

Ответ

а) положительно; б) отрицательно; в) неотрицательно; г) неположительно.