Упр.11.7 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2025 года. Найдите значения переменной, при которых определена алгебраическая дробь:
а) $$\frac{x^2}{x^2+1}$$;
б) $$\frac{x^2+1}{x^2}$$;
в) $$\frac{a-4}{a^2(a^2+2)}$$;
г) $$\frac{2a+1}{(a^2+3)(a-1)}$$;
д) $$\frac{(2a+3)^2}{(4a^2+9)(4a^2-9)}$$;
е) $$\frac{4a^2-4a+1}{(4a^2-1)(4a^2+1)}$$. - Задание учебника 2019 года. Докажите, что при любых значениях переменной значение алгебраической дроби:
а) $$\frac{y^2+2}{2}$$ положительно;
б) $$-\frac{1}{x^2+5}$$ отрицательно;
в) $$\frac{x^2}{x^2+1}$$ неотрицательно;
г) $$\frac{(x-1)^2}{-10}$$ неположительно.
Дробь определена тогда и только тогда, когда её знаменатель не равен нулю.
$$\frac{x^2}{x^2+1}$$
$$x^2+1\ne 0$$
Но при любом $$x$$ имеем $$x^2\ge 0$$, значит $$x^2+1>0$$. Следовательно, дробь определена при любых значениях $$x$$.
Ответ: $$(-\infty;+\infty)$$.
$$\frac{x^2+1}{x^2}$$
$$x^2\ne 0$$
Отсюда $$x\ne 0$$.
Ответ: $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$.
$$\frac{a-4}{a^2(a^2+2)}$$
$$a^2(a^2+2)\ne 0$$
Значит, $$a^2\ne 0$$, то есть $$a\ne 0$$. Уравнение $$a^2+2=0$$ не имеет действительных решений.
Ответ: $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$.
$$\frac{2a+1}{(a^2+3)(a-1)}$$
$$(a^2+3)(a-1)\ne 0$$
Так как $$a^2+3>0$$ при любом $$a$$, остаётся условие $$a-1\ne 0$$, то есть $$a\ne 1$$.
Ответ: $$(-\infty;1)\cup(1;+\infty)$$.
$$\frac{(2a+3)^2}{(4a^2+9)(4a^2-9)}$$
$$(4a^2+9)(4a^2-9)\ne 0$$
Так как $$4a^2+9>0$$ при любом $$a$$, нужно только
$$4a^2-9\ne 0$$
$$4a^2\ne 9$$
$$a\ne \pm \frac{3}{2}$$
Ответ: $$(-\infty;-\tfrac{3}{2})\cup(-\tfrac{3}{2};\tfrac{3}{2})\cup(\tfrac{3}{2};+\infty)$$.
$$\frac{4a^2-4a+1}{(4a^2-1)(4a^2+1)}$$
$$(4a^2-1)(4a^2+1)\ne 0$$
Так как $$4a^2+1>0$$ при любом $$a$$, остаётся
$$4a^2-1\ne 0$$
$$4a^2\ne 1$$
$$a\ne \pm \frac{1}{2}$$
Ответ: $$(-\infty;-\tfrac{1}{2})\cup(-\tfrac{1}{2};\tfrac{1}{2})\cup(\tfrac{1}{2};+\infty)$$.
$$\frac{y^2+2}{2}$$
Так как $$y^2\ge 0$$, то $$y^2+2>0$$. Деление на положительное число $$2$$ сохраняет знак, значит
$$\frac{y^2+2}{2}>0$$
при любых $$y$$.
$$-\frac{1}{x^2+5}$$
Так как $$x^2+5>0$$ при любых $$x$$, то
$$-\frac{1}{x^2+5}<0$$
при любых $$x$$.
$$\frac{x^2}{x^2+1}$$
Числитель $$x^2\ge 0$$, знаменатель $$x^2+1>0$$, значит
$$\frac{x^2}{x^2+1}\ge 0$$
при любых $$x$$.
$$\frac{(x-1)^2}{-10}$$
Так как $$(x-1)^2\ge 0$$, а $$-10<0$$, то
$$\frac{(x-1)^2}{-10}\le 0$$
при любых $$x$$.
Ответ
а) положительно; б) отрицательно; в) неотрицательно; г) неположительно.
