Упр.11.6 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

а) (a + 3)/(a — 3);
б) (2b — 10)/(b + 5);
в) (2x(x — 2))/(x^2 + 1);
г) (5a^2)/(a(a + 4));
д) ((y — 1)(y + 6))/(y — 1)^2;
е) (x^2 — 9)/(x — 3)?
Докажите, что при любых значениях переменной значение алгебраической дроби равно нулю:
а) ((x — 1)^2 + 2(x + 1) — (x^2 + 3))/(x^2 + 1);
б) (16 + x(x + 8) — (x + 4)^2)/(x^2 + 4).

Подробный ответ

Дробь равна нулю, если её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$$\frac{a+3}{a-3}=0$$
$$a+3=0,\quad a-3\ne 0$$
$$a=-3,\quad a\ne 3$$
Значит, $$a=-3$$.
$$\frac{2b-10}{b+5}=0$$
$$2b-10=0,\quad b+5\ne 0$$
$$2b=10,\quad b\ne -5$$
$$b=5$$.
$$\frac{2x(x-2)}{x^2+1}=0$$
$$2x(x-2)=0,\quad x^2+1\ne 0$$
$$2x=0 \text{ или } x-2=0$$
$$x=0 \text{ или } x=2$$
При этом $$x^2+1>0$$ при любых $$x$$, значит, оба значения подходят.
$$\frac{5a^2}{a(a+4)}=0$$
$$5a^2=0,\quad a(a+4)\ne 0$$
$$a=0$$, но при этом знаменатель обращается в нуль, так как $$a(a+4)=0$$.
Следовательно, таких значений $$a$$ нет.
$$\frac{(y-1)(y+6)}{(y-1)^2}=0$$
$$ (y-1)(y+6)=0,\quad (y-1)^2\ne 0$$
$$y=1 \text{ или } y=-6$$
Но $$y=1$$ не подходит, так как знаменатель равен нулю. Значит, $$y=-6$$.
$$\frac{x^2-9}{x-3}=0$$
$$x^2-9=0,\quad x-3\ne 0$$
$$x^2=9,\quad x=\pm 3$$
Но $$x=3$$ не подходит, так как знаменатель равен нулю. Значит, $$x=-3$$.

Докажем, что данные дроби равны нулю при любых значениях переменной.

$$\frac{(x-1)^2+2(x+1)-(x^2+3)}{x^2+1}$$
Преобразуем числитель:
$$ (x-1)^2+2(x+1)-(x^2+3)= x^2-2x+1+2x+2-x^2-3=0 $$
Тогда
$$\frac{0}{x^2+1}=0$$
Так как $$x^2+1\ne 0$$ при любых $$x$$, дробь равна нулю при любых значениях переменной.
$$\frac{16+x(x+8)-(x+4)^2}{x^2+4}$$
Преобразуем числитель:
$$ 16+x(x+8)-(x+4)^2= 16+x^2+8x-(x^2+8x+16)=0 $$
Тогда
$$\frac{0}{x^2+4}=0$$
Так как $$x^2+4\ne 0$$ при любых $$x$$, дробь равна нулю при любых значениях переменной.