Упр.11.5 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) x^2/(x(6x+2)); в) (x+3)/(x^2-9); д) (x^2-49)/(x^2-14x+49);
б) ((x-2)^2)/(2x(x-2)); г) (x^2-9x)/(x^2-81); е) (x^2+10x+25)/(x^2+5x). При каких значениях переменной равна нулю алгебраическая дробь:
а) (a + 3)/(a — 3);
б) (2b — 10)/(b + 5);
в) (2x(x — 2))/(x^2 + 1);
г) (5a^2)/(a(a + 4));
д) ((y — 1)(y + 6))/(y — 1)^2;
е) (x^2 — 9)/(x — 3)?

1. Найдём допустимые значения переменной: знаменатель дроби не должен равняться нулю.

   а) $$\frac{x^2}{x(6x+2)}$$

   $$x \ne 0,\quad 6x+2 \ne 0$$

   $$x \ne 0,\quad x \ne -\frac13$$

   $$x \in (-\infty; -\tfrac13)\cup(-\tfrac13; 0)\cup(0; +\infty)$$

   б) $$\frac{(x-2)^2}{2x(x-2)}$$

   $$2x \ne 0,\quad x-2 \ne 0$$

   $$x \ne 0,\quad x \ne 2$$

   $$x \in (-\infty; 0)\cup(0; 2)\cup(2; +\infty)$$

   в) $$\frac{x+3}{x^2-9}=\frac{x+3}{(x-3)(x+3)}$$

   $$x-3 \ne 0,\quad x+3 \ne 0$$

   $$x \ne 3,\quad x \ne -3$$

   $$x \in (-\infty; -3)\cup(-3; 3)\cup(3; +\infty)$$

   г) $$\frac{x^2-9x}{x^2-81}=\frac{x^2-9x}{(x-9)(x+9)}$$

   $$x-9 \ne 0,\quad x+9 \ne 0$$

   $$x \ne 9,\quad x \ne -9$$

   $$x \in (-\infty; -9)\cup(-9; 9)\cup(9; +\infty)$$

   д) $$\frac{x^2-49}{x^2-14x+49}=\frac{x^2-49}{(x-7)^2}$$

   $$x-7 \ne 0$$

   $$x \ne 7$$

   $$x \in (-\infty; 7)\cup(7; +\infty)$$

   е) $$\frac{x^2+10x+25}{x^2+5x}=\frac{x^2+10x+25}{x(x+5)}$$

   $$x \ne 0,\quad x+5 \ne 0$$

   $$x \ne 0,\quad x \ne -5$$

   $$x \in (-\infty; -5)\cup(-5; 0)\cup(0; +\infty)$$

2. Алгебраическая дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

   а) $$\frac{a+3}{a-3}=0$$

   $$a+3=0,\quad a-3 \ne 0$$

   $$a=-3,\quad a \ne 3$$

   б) $$\frac{2b-10}{b+5}=0$$

   $$2b-10=0,\quad b+5 \ne 0$$

   $$2b=10,\quad b \ne -5$$

   $$b=5$$

   в) $$\frac{2x(x-2)}{x^2+1}=0$$

   $$2x(x-2)=0,\quad x^2+1 \ne 0$$

   $$x=0 \text{ или } x=2$$

   Так как $$x^2+1>0$$ при любом $$x$$, ограничений нет.

   г) $$\frac{5a^2}{a(a+4)}=0$$

   $$5a^2=0,\quad a(a+4)\ne 0$$

   $$a=0$$

   Но при $$a=0$$ знаменатель равен нулю, значит таких значений нет.

   д) $$\frac{(y-1)(y+6)}{(y-1)^2}=0$$

   $$ (y-1)(y+6)=0,\quad (y-1)^2 \ne 0$$

   $$y=1 \text{ или } y=-6$$

   Значение $$y=1$$ не подходит, так как знаменатель обращается в нуль.

   Остаётся $$y=-6$$.

   е) $$\frac{x^2-9}{x-3}=0$$

   $$x^2-9=0,\quad x-3 \ne 0$$

   $$x^2=9,\quad x=\pm 3$$

   Значение $$x=3$$ не подходит, поэтому $$x=-3$$.

Ответ

1) а) $$(-\infty; -\tfrac13)\cup(-\tfrac13; 0)\cup(0; +\infty)$$; б) $$(-\infty; 0)\cup(0; 2)\cup(2; +\infty)$$; в) $$(-\infty; -3)\cup(-3; 3)\cup(3; +\infty)$$; г) $$(-\infty; -9)\cup(-9; 9)\cup(9; +\infty)$$; д) $$(-\infty; 7)\cup(7; +\infty)$$; е) $$(-\infty; -5)\cup(-5; 0)\cup(0; +\infty)$$.

2) а) $$a=-3$$; б) $$b=5$$; в) $$x=0,\ 2$$; г) таких значений нет; д) $$y=-6$$; е) $$x=-3$$.