Упр.11.4 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) (7y+1)/(2y-7); в) 1/(x-x^2); д) 4/((3y-4)^2);
б) (x-5)/(x(x+5)); г) y/(y^2-25); е) (x^2+1)/(x^2+4x+4). Найдите значения переменной, при которых определена алгебраическая дробь:
а) x^2/(x^2 + 1);
б) (x^2 + 1)/x^2;
в) (a — 4)/(a^2 (a^2 + 2));
г) (2a + 1)/((a^2 + 3)(a — 1));
д) (2a + 3)^2/((4a^2 + 9)(4a^2 — 9));
е) (4a^2 — 4a + 1)/((4a^2 — 1)(4a^2 + 1)).

Алгебраическая дробь имеет смысл тогда и только тогда, когда её знаменатель не равен нулю.

1. $$\frac{7y+1}{2y-7}$$

   $$2y-7\ne 0,\quad y\ne \frac{7}{2}$$

   Ответ: $$(-\infty;\tfrac{7}{2})\cup(\tfrac{7}{2};+\infty).$$

2. $$\frac{x-5}{x(x+5)}$$

   $$x(x+5)\ne 0,\quad x\ne 0,\quad x\ne -5$$

   Ответ: $$(-\infty;-5)\cup(-5;0)\cup(0;+\infty).$$

3. $$\frac{1}{x-x^2}=\frac{1}{x(1-x)}$$

   $$x(1-x)\ne 0,\quad x\ne 0,\quad x\ne 1$$

   Ответ: $$(-\infty;0)\cup(0;1)\cup(1;+\infty).$$

4. $$\frac{y}{y^2-25}=\frac{y}{(y-5)(y+5)}$$

   $$ (y-5)(y+5)\ne 0,\quad y\ne 5,\quad y\ne -5$$

   Ответ: $$(-\infty;-5)\cup(-5;5)\cup(5;+\infty).$$

5. $$\frac{4}{(3y-4)^2}$$

   $$3y-4\ne 0,\quad y\ne \frac{4}{3}$$

   Ответ: $$(-\infty;\tfrac{4}{3})\cup(\tfrac{4}{3};+\infty).$$

6. $$\frac{x^2+1}{x^2+4x+4}=\frac{x^2+1}{(x+2)^2}$$

   $$x+2\ne 0,\quad x\ne -2$$

   Ответ: $$(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty).$$

Теперь найдём значения переменной, при которых определена алгебраическая дробь.

1. $$\frac{x^2}{x^2+1}$$

   $$x^2+1\ne 0$$

   При любом действительном $$x$$ знаменатель не равен нулю.

   Ответ: $$(-\infty;+\infty).$$

2. $$\frac{x^2+1}{x^2}$$

   $$x^2\ne 0,\quad x\ne 0$$

   Ответ: $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

3. $$\frac{a-4}{a^2(a^2+2)}$$

   $$a^2(a^2+2)\ne 0$$

   Так как $$a^2+2\ne 0$$ при любом действительном $$a$$, остаётся условие $$a^2\ne 0$$.

   $$a\ne 0$$

   Ответ: $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

4. $$\frac{2a+1}{(a^2+3)(a-1)}$$

   $$ (a^2+3)(a-1)\ne 0$$

   Так как $$a^2+3\ne 0$$ при любом действительном $$a$$, получаем

   $$a-1\ne 0,\quad a\ne 1$$

   Ответ: $$(-\infty;1)\cup(1;+\infty).$$

5. $$\frac{(2a+3)^2}{(4a^2+9)(4a^2-9)}$$

   $$ (4a^2+9)(4a^2-9)\ne 0$$

   Так как $$4a^2+9\ne 0$$ при любом действительном $$a$$, остаётся

   $$4a^2-9\ne 0,\quad 4a^2\ne 9,\quad a\ne \pm \frac{3}{2}$$

   Ответ: $$(-\infty;-\tfrac{3}{2})\cup(-\tfrac{3}{2};\tfrac{3}{2})\cup(\tfrac{3}{2};+\infty).$$

6. $$\frac{4a^2-4a+1}{(4a^2-1)(4a^2+1)}$$

   $$ (4a^2-1)(4a^2+1)\ne 0$$

   Так как $$4a^2+1\ne 0$$ при любом действительном $$a$$, получаем

   $$4a^2-1\ne 0,\quad 4a^2\ne 1,\quad a\ne \pm \frac{1}{2}$$

   Ответ: $$(-\infty;-\tfrac{1}{2})\cup(-\tfrac{1}{2};\tfrac{1}{2})\cup(\tfrac{1}{2};+\infty).$$