Упр.11.4 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2025 года. Найдите значения переменной, при которых алгебраическая дробь имеет смысл:
а) $$\frac{7y+1}{2y-7}$$;
в) $$\frac{1}{x-x^2}$$;
д) $$\frac{4}{(3y-4)^2}$$;
б) $$\frac{x-5}{x(x+5)}$$;
г) $$\frac{y}{y^2-25}$$;
е) $$\frac{x^2+1}{x^2+4x+4}$$. - Задание учебника 2019 года. Найдите значения переменной, при которых определена алгебраическая дробь:
а) $$\frac{x^2}{x^2+1}$$;
б) $$\frac{x^2+1}{x^2}$$;
в) $$\frac{a-4}{a^2(a^2+2)}$$;
г) $$\frac{2a+1}{(a^2+3)(a-1)}$$;
д) $$\frac{(2a+3)^2}{(4a^2+9)(4a^2-9)}$$;
е) $$\frac{4a^2-4a+1}{(4a^2-1)(4a^2+1)}$$.
Алгебраическая дробь имеет смысл тогда и только тогда, когда её знаменатель не равен нулю.
$$\frac{7y+1}{2y-7}$$
$$2y-7\ne 0,\quad y\ne \frac{7}{2}$$
Ответ: $$(-\infty;\tfrac{7}{2})\cup(\tfrac{7}{2};+\infty).$$
$$\frac{x-5}{x(x+5)}$$
$$x(x+5)\ne 0,\quad x\ne 0,\quad x\ne -5$$
Ответ: $$(-\infty;-5)\cup(-5;0)\cup(0;+\infty).$$
$$\frac{1}{x-x^2}=\frac{1}{x(1-x)}$$
$$x(1-x)\ne 0,\quad x\ne 0,\quad x\ne 1$$
Ответ: $$(-\infty;0)\cup(0;1)\cup(1;+\infty).$$
$$\frac{y}{y^2-25}=\frac{y}{(y-5)(y+5)}$$
$$(y-5)(y+5)\ne 0,\quad y\ne 5,\quad y\ne -5$$
Ответ: $$(-\infty;-5)\cup(-5;5)\cup(5;+\infty).$$
$$\frac{4}{(3y-4)^2}$$
$$3y-4\ne 0,\quad y\ne \frac{4}{3}$$
Ответ: $$(-\infty;\tfrac{4}{3})\cup(\tfrac{4}{3};+\infty).$$
$$\frac{x^2+1}{x^2+4x+4}=\frac{x^2+1}{(x+2)^2}$$
$$x+2\ne 0,\quad x\ne -2$$
Ответ: $$(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty).$$
Теперь найдём значения переменной, при которых определена алгебраическая дробь.
$$\frac{x^2}{x^2+1}$$
$$x^2+1\ne 0$$
При любом действительном $$x$$ знаменатель не равен нулю.
Ответ: $$(-\infty;+\infty).$$
$$\frac{x^2+1}{x^2}$$
$$x^2\ne 0,\quad x\ne 0$$
Ответ: $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
$$\frac{a-4}{a^2(a^2+2)}$$
$$a^2(a^2+2)\ne 0$$
Так как $$a^2+2\ne 0$$ при любом действительном $$a$$, остаётся условие $$a^2\ne 0$$.
$$a\ne 0$$
Ответ: $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
$$\frac{2a+1}{(a^2+3)(a-1)}$$
$$(a^2+3)(a-1)\ne 0$$
Так как $$a^2+3\ne 0$$ при любом действительном $$a$$, получаем
$$a-1\ne 0,\quad a\ne 1$$
Ответ: $$(-\infty;1)\cup(1;+\infty).$$
$$\frac{(2a+3)^2}{(4a^2+9)(4a^2-9)}$$
$$(4a^2+9)(4a^2-9)\ne 0$$
Так как $$4a^2+9\ne 0$$ при любом действительном $$a$$, остаётся
$$4a^2-9\ne 0,\quad 4a^2\ne 9,\quad a\ne \pm \frac{3}{2}$$
Ответ: $$(-\infty;-\tfrac{3}{2})\cup(-\tfrac{3}{2};\tfrac{3}{2})\cup(\tfrac{3}{2};+\infty).$$
$$\frac{4a^2-4a+1}{(4a^2-1)(4a^2+1)}$$
$$(4a^2-1)(4a^2+1)\ne 0$$
Так как $$4a^2+1\ne 0$$ при любом действительном $$a$$, получаем
$$4a^2-1\ne 0,\quad 4a^2\ne 1,\quad a\ne \pm \frac{1}{2}$$
Ответ: $$(-\infty;-\tfrac{1}{2})\cup(-\tfrac{1}{2};\tfrac{1}{2})\cup(\tfrac{1}{2};+\infty).$$
