Упр.11.3 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
а) (x-2)/(x(2x-6)); в) (x-2)/((x-3)(3x+2)); д) (3x+1)/((x-3)(x+3));
б) (2a+1)/(2a(a+1)); г) (x+4)/((1-x)(5x+1)); е) (x^2+1)/(x^2-1). Найдите значения переменной, при которых определена алгебраическая дробь:
а) (x^2 — 25)/((x — 5)(3x + 2));
б) (x^2 — 49)/(x^2 — 14x + 49);
в) (x + 3)/(x^2 — 9);
г) (x^2 + 10x + 25)/(x^2 + 5x);
д) (x^2 — 4)/((x + 6)(x — 2)^2);
е) (x^2 — 9x)/(x^2 — 81).
1. Найдём, при каких значениях переменной дробь не определена. Для этого приравниваем к нулю знаменатель.
а) $$\frac{x-2}{x(2x-6)}$$
$$x(2x-6)=0$$
$$x=0 \quad \text{или} \quad 2x-6=0$$
$$x=0 \quad \text{или} \quad x=3$$
Ответ: $$0;\ 3.$$
б) $$\frac{2a+1}{2a(a+1)}$$
$$2a(a+1)=0$$
$$a=0 \quad \text{или} \quad a+1=0$$
$$a=0 \quad \text{или} \quad a=-1$$
Ответ: $$-1;\ 0.$$
в) $$\frac{x-2}{(x-3)(3x+2)}$$
$$(x-3)(3x+2)=0$$
$$x-3=0 \quad \text{или} \quad 3x+2=0$$
$$x=3 \quad \text{или} \quad x=-\frac{2}{3}$$
Ответ: $$-\frac{2}{3};\ 3.$$
г) $$\frac{x+4}{(1-x)(5x+1)}$$
$$(1-x)(5x+1)=0$$
$$1-x=0 \quad \text{или} \quad 5x+1=0$$
$$x=1 \quad \text{или} \quad x=-\frac{1}{5}$$
Ответ: $$-\frac{1}{5};\ 1.$$
д) $$\frac{3x+1}{(x-3)(x+3)}$$
$$(x-3)(x+3)=0$$
$$x-3=0 \quad \text{или} \quad x+3=0$$
$$x=3 \quad \text{или} \quad x=-3$$
Ответ: $$-3;\ 3.$$
е) $$\frac{x^2+1}{x^2-1}$$
$$x^2-1=0$$
$$x^2=1$$
$$x=\pm 1$$
Ответ: $$-1;\ 1.$$
2. Найдём значения переменной, при которых дробь определена. Для этого знаменатель должен быть отличен от нуля.
а) $$\frac{x^2-25}{(x-5)(3x+2)}$$
$$ (x-5)(3x+2)\ne 0 $$
$$x-5\ne 0 \quad \text{и} \quad 3x+2\ne 0$$
$$x\ne 5 \quad \text{и} \quad x\ne -\frac{2}{3}$$
Ответ: $$(-\infty;-\frac{2}{3})\cup(-\frac{2}{3};5)\cup(5;+\infty).$$
б) $$\frac{x^2-49}{x^2-14x+49}$$
$$x^2-14x+49\ne 0$$
$$ (x-7)^2\ne 0 $$
$$x\ne 7$$
Ответ: $$(-\infty;7)\cup(7;+\infty).$$
в) $$\frac{x+3}{x^2-9}$$
$$x^2-9\ne 0$$
$$ (x-3)(x+3)\ne 0 $$
$$x\ne 3 \quad \text{и} \quad x\ne -3$$
Ответ: $$(-\infty;-3)\cup(-3;3)\cup(3;+\infty).$$
г) $$\frac{x^2+10x+25}{x^2+5x}$$
$$x^2+5x\ne 0$$
$$x(x+5)\ne 0$$
$$x\ne 0 \quad \text{и} \quad x\ne -5$$
Ответ: $$(-\infty;-5)\cup(-5;0)\cup(0;+\infty).$$
д) $$\frac{x^2-4}{(x+6)(x-2)^2}$$
$$ (x+6)(x-2)^2\ne 0 $$
$$x+6\ne 0 \quad \text{и} \quad x-2\ne 0$$
$$x\ne -6 \quad \text{и} \quad x\ne 2$$
Ответ: $$(-\infty;-6)\cup(-6;2)\cup(2;+\infty).$$
е) $$\frac{x^2-9x}{x^2-81}$$
$$x^2-81\ne 0$$
$$ (x-9)(x+9)\ne 0 $$
$$x\ne 9 \quad \text{и} \quad x\ne -9$$
Ответ: $$(-\infty;-9)\cup(-9;9)\cup(9;+\infty).$$
Ответ
1) а) $$0;\ 3$$; б) $$-1;\ 0$$; в) $$-\frac{2}{3};\ 3$$; г) $$-\frac{1}{5};\ 1$$; д) $$-3;\ 3$$; е) $$-1;\ 1$$.
2) а) $$(-\infty;-\frac{2}{3})\cup(-\frac{2}{3};5)\cup(5;+\infty)$$; б) $$(-\infty;7)\cup(7;+\infty)$$; в) $$(-\infty;-3)\cup(-3;3)\cup(3;+\infty)$$; г) $$(-\infty;-5)\cup(-5;0)\cup(0;+\infty)$$; д) $$(-\infty;-6)\cup(-6;2)\cup(2;+\infty)$$; е) $$(-\infty;-9)\cup(-9;9)\cup(9;+\infty).$$
