Упр.108 Итоговое повторение ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович 8 класс, Мнемозина: 108

Подробный ответ

а)

$$ \frac{x+40}{x^3-16x}:\left(\frac{x-4}{3x^2+11x-4}-\frac{16}{16-x^2}\right)=\frac{3x-1}{x^2} $$
Разложим знаменатель:
$$ 3x^2+11x-4=(3x-1)(x+4). $$
Тогда
$$ \frac{x-4}{3x^2+11x-4}-\frac{16}{16-x^2} = \frac{x-4}{(3x-1)(x+4)}-\frac{16}{(4-x)(4+x)}. $$
Приведём к общему знаменателю:
$$ \frac{(x-4)(4-x)-16(3x-1)}{(3x-1)(x+4)(4-x)}. $$
Числитель:
$$ (x-4)(4-x)-16(3x-1)=-(x-4)^2-48x+16=-x^2-40x=-x(x+40). $$
Значит,
$$ \frac{x-4}{3x^2+11x-4}-\frac{16}{16-x^2} = \frac{x(x+40)}{(3x-1)(x+4)(x-4)}. $$
Теперь
$$ \frac{x+40}{x^3-16x}:\frac{x(x+40)}{(3x-1)(x+4)(x-4)} = \frac{x+40}{x(x^2-16)}\cdot \frac{(3x-1)(x+4)(x-4)}{x(x+40)}. $$
Сокращаем:
$$ =\frac{3x-1}{x^2}. $$

б)

$$ \frac{y^3-y}{y-4}\cdot\left(\frac{y-1}{2y^2+3y+1}-\frac{1}{y^2-1}\right)=\frac{y^2}{2y+1} $$
Разложим знаменатель:
$$ 2y^2+3y+1=(2y+1)(y+1), \qquad y^2-1=(y-1)(y+1). $$
Тогда
$$ \frac{y-1}{2y^2+3y+1}-\frac{1}{y^2-1} = \frac{y-1}{(2y+1)(y+1)}-\frac{1}{(y-1)(y+1)}. $$
Приведём к общему знаменателю:
$$ \frac{(y-1)^2-(2y+1)}{(2y+1)(y+1)(y-1)}. $$
Числитель:
$$ (y-1)^2-(2y+1)=y^2-2y+1-2y-1=y^2-4y=y(y-4). $$
Значит,
$$ \frac{y-1}{2y^2+3y+1}-\frac{1}{y^2-1} = \frac{y(y-4)}{(2y+1)(y^2-1)}. $$
Теперь
$$ \frac{y^3-y}{y-4}\cdot \frac{y(y-4)}{(2y+1)(y^2-1)} = \frac{y(y^2-1)}{y-4}\cdot \frac{y(y-4)}{(2y+1)(y^2-1)}. $$
Сокращаем:
$$ =\frac{y^2}{2y+1}. $$