Упр.107 Итоговое повторение ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Упростите выражение: $$107$$

а)

$$\left(\frac{b}{b-3}-\frac{b}{b+3}-\frac{b^2+9}{9-b^2}\right)\cdot \frac{(3-b)^2}{3b+b^2}$$

Так как $$9-b^2=-(b^2-9)=-(b-3)(b+3),$$ то

$$\frac{b}{b-3}-\frac{b}{b+3}-\frac{b^2+9}{9-b^2} = \frac{b}{b-3}-\frac{b}{b+3}+\frac{b^2+9}{b^2-9}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{b(b+3)-b(b-3)+b^2+9}{(b-3)(b+3)} = \frac{b^2+3b-b^2+3b+b^2+9}{(b-3)(b+3)} = \frac{b^2+6b+9}{(b-3)(b+3)} = \frac{(b+3)^2}{(b-3)(b+3)} = \frac{b+3}{b-3}$$

Тогда

$$\frac{b+3}{b-3}\cdot \frac{(3-b)^2}{3b+b^2} = \frac{b+3}{b-3}\cdot \frac{(b-3)^2}{b(b+3)} = \frac{b-3}{b}$$

б)

$$\frac{y^2+5y}{(y-5)^2}:\left(\frac{5}{y+5}+\frac{y^2+25}{y^2-25}-\frac{5}{5-y}\right)$$

Сначала упростим выражение в скобках. Так как $$y^2-25=(y-5)(y+5),$$ а $$\frac{5}{5-y}=-\frac{5}{y-5},$$ получаем:

$$\frac{5}{y+5}+\frac{y^2+25}{(y-5)(y+5)}+\frac{5}{y-5}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{5(y-5)+y^2+25+5(y+5)}{(y-5)(y+5)} = \frac{5y-25+y^2+25+5y+25}{(y-5)(y+5)} = \frac{y^2+10y+25}{(y-5)(y+5)} = \frac{(y+5)^2}{(y-5)(y+5)} = \frac{y+5}{y-5}$$

Тогда

$$\frac{y^2+5y}{(y-5)^2}:\frac{y+5}{y-5} = \frac{y(y+5)}{(y-5)^2}\cdot \frac{y-5}{y+5} = \frac{y}{y-5}$$

Ответ: а) $$\frac{b-3}{b}$$; б) $$\frac{y}{y-5}$$.