Упр.100 Итоговое повторение ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

б) Найдите значение параметра m в уравнении х2 — (3m2 + 16m — 8)х + (m + 9) = 0, если сумма корней уравнения равна 4.

а) По теореме Виета произведение корней равно свободному члену:

$$x_1x_2=4m^2-45m-8=28.$$

Получаем уравнение относительно $m$:

$$4m^2-45m-36=0.$$

Найдём корни:

$$D=45^2-4\cdot 4\cdot(-36)=2025+576=2601=51^2.$$

$$m=\frac{45\pm 51}{8}.$$

Тогда

$$m_1=\frac{45-51}{8}=-\frac34,\qquad m_2=\frac{45+51}{8}=12.$$

Проверим значения.

При $$m=-\frac34$$:

$$x^2-\left(-\frac34-1\right)x+\left(4\cdot\left(-\frac34\right)^2-45\cdot\left(-\frac34\right)-8\right)=0,$$

$$x^2+\frac74x+28=0.$$

$$D=\left(\frac74\right)^2-4\cdot 28<0,$$

действительных корней нет.

При $$m=12$$:

$$x^2-(12-1)x+(4\cdot 12^2-45\cdot 12-8)=0,$$

$$x^2-11x+28=0.$$

У этого уравнения корни существуют, значит подходит значение $$m=12$$.

б) По теореме Виета сумма корней равна коэффициенту при $x$ со знаком «плюс»:

$$x_1+x_2=3m^2+16m-8=4.$$

Тогда

$$3m^2+16m-12=0.$$

Найдём корни:

$$D=16^2-4\cdot 3\cdot(-12)=256+144=400=20^2.$$

$$m=\frac{-16\pm 20}{6}.$$

Получаем

$$m_1=-6,\qquad m_2=\frac23.$$

Проверим.

При $$m=\frac23$$:

$$x^2-\left(3\cdot\left(\frac23\right)^2+16\cdot\frac23-8\right)x+\left(\frac23+9\right)=0,$$

$$x^2-4x+\frac{29}{3}=0.$$

$$D=16-4\cdot\frac{29}{3}<0,$$

действительных корней нет.

При $$m=-6$$:

$$x^2-(3\cdot 36+16\cdot(-6)-8)x+(-6+9)=0,$$

$$x^2-4x+3=0.$$

Корни существуют, значит подходит значение $$m=-6$$.

Ответ

а) $$m=12$$; б) $$m=-6$$.