Дополнительная задача 10 Глава 2 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

а) a/|a|;
б) b/|b — 1|;
в) c/(1 — 1/|c|);
г) (d + 1)/(|d| + 1/d);
д) 1/(x^2 + |x — 1|);
е) (y + 1)/(|y| — |y + 2|).

Подробный ответ

Дробь не определена, если её знаменатель равен нулю.

$$\frac{a}{|a|}$$
Знаменатель равен нулю, когда
$$|a|=0 \Rightarrow a=0.$$
$$\frac{b}{|b-1|}$$
Знаменатель равен нулю, когда
$$|b-1|=0 \Rightarrow b-1=0 \Rightarrow b=1.$$
$$\frac{c}{1-\frac{1}{|c|}}$$
Знаменатель равен нулю, если
$$1-\frac{1}{|c|}=0.$$
Так как при этом должно быть $$|c|\neq 0$$, получаем
$$1=\frac{1}{|c|} \Rightarrow |c|=1 \Rightarrow c=\pm 1.$$
Кроме того, выражение $$\frac{1}{|c|}$$ не определено при $$c=0$$, значит, $$c=0$$ тоже не подходит.
$$\frac{d+1}{|d|+\frac{1}{d}}$$
Знаменатель равен нулю, если
$$|d|+\frac{1}{d}=0.$$
Рассмотрим случаи:
- при $$d>0$$: $$|d|=d$$, тогда $$d+\frac{1}{d}=0$$, что невозможно;
- при $$d<0$$: $$|d|=-d$$, тогда $$-d+\frac{1}{d}=0$$.
Умножим на $$d$$ (при $$d\neq 0$$):
$$-d^2+1=0 \Rightarrow d^2=1 \Rightarrow d=\pm 1.$$
С учётом условия $$d<0$$ получаем $$d=-1$$. Также $$d=0$$ не допускается, так как есть дробь $$\frac{1}{d}$$.
$$\frac{1}{x^2+|x-1|}$$
Знаменатель не может быть равен нулю, так как
$$x^2\ge 0,\quad |x-1|\ge 0,$$
а сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только тогда, когда каждое из них равно нулю. Но одновременно
$$x^2=0 \Rightarrow x=0,\qquad |x-1|=0 \Rightarrow x=1,$$
что невозможно. Значит, знаменатель всегда положителен.
$$\frac{y+1}{|y|-|y+2|}$$
Знаменатель равен нулю, если
$$|y|-|y+2|=0 \Rightarrow |y|=|y+2|.$$
Решим по промежуткам:
- если $$y>0$$, то $$|y|=y,\ |y+2|=y+2$$, и получаем $$y=y+2$$ — корней нет;
- если $$-2\le y\le 0$$, то $$|y|=-y,\ |y+2|=y+2$$, и получаем
  $$-y=y+2 \Rightarrow -2y=2 \Rightarrow y=-1;$$
- если $$y<-2$$, то $$|y|=-y,\ |y+2|=-(y+2)=-y-2$$, и получаем $$-y=-y-2$$ — корней нет.