Дополнительная задача 10 Глава 1 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
а) (3 + v2)^2; г) (3 + v2)^2 — (3 — v2)^2;
б) (1 + v2)^3; д) (1 + v2)^3 + (1 — v2)^3;
в) (3 + v2) + (3 — v2)^2; е) (1 + v2)^3 — (1 — v2)^3.
а) $$\left(3+\sqrt{2}\right)^2=3^2+2\cdot 3\cdot \sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=9+6\sqrt{2}+2=11+6\sqrt{2}.$$
Это иррациональное число.
б) $$\left(1+\sqrt{2}\right)^3=1^3+3\cdot 1^2\cdot \sqrt{2}+3\cdot 1\cdot (\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^3$$
$$=1+3\sqrt{2}+6+2\sqrt{2}=7+5\sqrt{2}.$$
Это иррациональное число.
в) $$\left(3+\sqrt{2}\right)^2+\left(3-\sqrt{2}\right)^2=(11+6\sqrt{2})+(11-6\sqrt{2})=22.$$
Это рациональное число.
г) $$\left(3+\sqrt{2}\right)^2-\left(3-\sqrt{2}\right)^2=(11+6\sqrt{2})-(11-6\sqrt{2})=12\sqrt{2}.$$
Это иррациональное число.
д) $$\left(1-\sqrt{2}\right)^3=1^3-3\cdot 1^2\cdot \sqrt{2}+3\cdot 1\cdot (\sqrt{2})^2-(\sqrt{2})^3$$
$$=1-3\sqrt{2}+6-2\sqrt{2}=7-5\sqrt{2}.$$
Тогда
$$\left(1+\sqrt{2}\right)^3+\left(1-\sqrt{2}\right)^3=(7+5\sqrt{2})+(7-5\sqrt{2})=14.$$
Это рациональное число.
е) $$\left(1+\sqrt{2}\right)^3-\left(1-\sqrt{2}\right)^3=(7+5\sqrt{2})-(7-5\sqrt{2})=10\sqrt{2}.$$
Это иррациональное число.
Ответ
а) $$11+6\sqrt{2}$$ — иррациональное; б) $$7+5\sqrt{2}$$ — иррациональное; в) $$22$$ — рациональное; г) $$12\sqrt{2}$$ — иррациональное; д) $$14$$ — рациональное; е) $$10\sqrt{2}$$ — иррациональное.
