Дополнительная задача 1 Глава 6 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
- Не решая уравнение, укажите число его корней:
а) $$(x^2+x+1)(x^2-x+1)=0$$;
б) $$(x^2+x+1)(x^2-2x+1)=0$$;
в) $$(x^2+2x+1)(x^2-2x+1)=0$$;
г) $$(x^2+2x+1)(x^2-3x+2)=0$$;
д) $$(x^2+6x+7)(x^2-x+1)=0$$;
е) $$(x^2+7x+4)(x^2-10x+3)=0$$. - Нарисуйте дерево вариантов составления линейной функции $$y=kx+b$$, если:
а) $$k=2,\ b\in\{3;4\}$$;
б) $$k\in\{-1;1\},\ b=3$$;
в) $$k\in\{0;5\},\ b\in\{0;9\}$$;
г) $$k\in\{-1;1\},\ b\in\{-1;1\}$$;
д) $$k\in\{1;3;5\},\ b\in\{2;4\}$$;
е) $$k\in\{-2;-1\},\ b\in\{0;1;2;4\}$$.
а) $$\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)=0$$
Рассмотрим каждый множитель:
$$x^2+x+1=0,\quad D=1-4=-3<0$$
$$x^2-x+1=0,\quad D=1-4=-3<0$$
Оба квадратных уравнения не имеют действительных корней, значит, исходное уравнение корней не имеет.
Ответ: 0.
б) $$\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-2x+1\right)=0$$
$$x^2+x+1=0,\quad D=1-4=-3<0$$
$$x^2-2x+1=0,\quad D=4-4=0$$
Первый множитель корней не имеет, второй даёт один корень. Значит, уравнение имеет 1 корень.
Ответ: 1.
в) $$\left(x^2+2x+1\right)\left(x^2-2x+1\right)=0$$
$$x^2+2x+1=0,\quad D=4-4=0$$
$$x^2-2x+1=0,\quad D=4-4=0$$
Каждый множитель даёт по одному корню, значит, уравнение имеет 2 корня.
Ответ: 2.
г) $$\left(x^2+2x+1\right)\left(x^2-3x+2\right)=0$$
$$x^2+2x+1=0,\quad D=4-4=0$$
$$x^2-3x+2=0,\quad D=9-8=1>0$$
Первый множитель даёт один корень, второй — два корня. Итак, уравнение имеет 3 корня.
Ответ: 3.
д) $$\left(x^2+6x+7\right)\left(x^2-x+1\right)=0$$
$$x^2+6x+7=0,\quad D=36-28=8>0$$
$$x^2-x+1=0,\quad D=1-4=-3<0$$
Первый множитель даёт два корня, второй корней не имеет. Значит, уравнение имеет 2 корня.
Ответ: 2.
е) $$\left(x^2+7x+4\right)\left(x^2-10x+3\right)=0$$
$$x^2+7x+4=0,\quad D=49-16=33>0$$
$$x^2-10x+3=0,\quad D=100-12=88>0$$
Оба множителя дают по два корня, значит, уравнение имеет 4 корня.
Ответ: 4.
Для линейной функции $$y=kx+b$$ составим дерево вариантов.
а) $$k=2,\quad b\in\{3;4\}$$
Возможны функции: $$y=2x+3$$, $$y=2x+4$$.
б) $$k\in\{-1;1\},\quad b=3$$
Возможны функции: $$y=-x+3$$, $$y=x+3$$.
в) $$k\in\{0;5\},\quad b\in\{0;9\}$$
Возможны функции: $$y=0x+0$$, $$y=0x+9$$, $$y=5x+0$$, $$y=5x+9$$.
г) $$k\in\{-1;1\},\quad b\in\{-1;1\}$$
Возможны функции: $$y=-x-1$$, $$y=-x+1$$, $$y=x-1$$, $$y=x+1$$.
д) $$k\in\{1;3;5\},\quad b\in\{2;4\}$$
Возможны функции:
$$y=x+2,\ y=x+4,\ y=3x+2,\ y=3x+4,\ y=5x+2,\ y=5x+4.$$
е) $$k\in\{-2;-1\},\quad b\in\{0;1;2;4\}$$
Возможны функции:
$$y=-2x,\ y=-2x+1,\ y=-2x+2,\ y=-2x+4,$$
$$y=-x,\ y=-x+1,\ y=-x+2,\ y=-x+4.$$
Ответ
а) 0; б) 1; в) 2; г) 3; д) 2; е) 4.
