Дополнительная задача 1 Глава 6 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) (х^2 + х + 1)(х^2 — х + 1) = 0;
б) (х^2 + x + 1)(х^2 — 2х + 1) = 0;
в) (х^2 + 2х + 1)(х^2 — 2х + 1) = 0;
г) (x^2 + 2х + 1)(х^2 — 3х + 2) = 0;
д) (х^2 + 6х + 7)(х^2 — х + 1) = 0;
е) (х^2 + 7х + 4)(х^2 — 10х + 3) = 0. Нарисуйте дерево вариантов составления линейной функции у = kx + b, если:
а) k = 2, b ? {3; 4}; г) k ? {-1; 1}, b ? {-1; 1};
б) k ? {-1; 1}, b = 3; д) k ? {1; 3; 5}, b ? {2; 4};
в) k ? {0; 5}, b ? {0; 9}; е) k ? {-2; -1}, b ? {0; 1; 2; 4}.

1. а) $$\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)=0$$

   Рассмотрим каждый множитель:

   $$x^2+x+1=0,\quad D=1-4=-3<0$$

   $$x^2-x+1=0,\quad D=1-4=-3<0$$

   Оба квадратных уравнения не имеют действительных корней, значит, исходное уравнение корней не имеет.

   Ответ: 0.

2. б) $$\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-2x+1\right)=0$$

   $$x^2+x+1=0,\quad D=1-4=-3<0$$

   $$x^2-2x+1=0,\quad D=4-4=0$$

   Первый множитель корней не имеет, второй даёт один корень. Значит, уравнение имеет 1 корень.

   Ответ: 1.

3. в) $$\left(x^2+2x+1\right)\left(x^2-2x+1\right)=0$$

   $$x^2+2x+1=0,\quad D=4-4=0$$

   $$x^2-2x+1=0,\quad D=4-4=0$$

   Каждый множитель даёт по одному корню, значит, уравнение имеет 2 корня.

   Ответ: 2.

4. г) $$\left(x^2+2x+1\right)\left(x^2-3x+2\right)=0$$

   $$x^2+2x+1=0,\quad D=4-4=0$$

   $$x^2-3x+2=0,\quad D=9-8=1>0$$

   Первый множитель даёт один корень, второй — два корня. Итак, уравнение имеет 3 корня.

   Ответ: 3.

5. д) $$\left(x^2+6x+7\right)\left(x^2-x+1\right)=0$$

   $$x^2+6x+7=0,\quad D=36-28=8>0$$

   $$x^2-x+1=0,\quad D=1-4=-3<0$$

   Первый множитель даёт два корня, второй корней не имеет. Значит, уравнение имеет 2 корня.

   Ответ: 2.

6. е) $$\left(x^2+7x+4\right)\left(x^2-10x+3\right)=0$$

   $$x^2+7x+4=0,\quad D=49-16=33>0$$

   $$x^2-10x+3=0,\quad D=100-12=88>0$$

   Оба множителя дают по два корня, значит, уравнение имеет 4 корня.

   Ответ: 4.

7. Для линейной функции $$y=kx+b$$ составим дерево вариантов.

   1. а) $$k=2,\quad b\in\{3;4\}$$

      Возможны функции: $$y=2x+3$$, $$y=2x+4$$.

   2. б) $$k\in\{-1;1\},\quad b=3$$

      Возможны функции: $$y=-x+3$$, $$y=x+3$$.

   3. в) $$k\in\{0;5\},\quad b\in\{0;9\}$$

      Возможны функции: $$y=0x+0$$, $$y=0x+9$$, $$y=5x+0$$, $$y=5x+9$$.

   4. г) $$k\in\{-1;1\},\quad b\in\{-1;1\}$$

      Возможны функции: $$y=-x-1$$, $$y=-x+1$$, $$y=x-1$$, $$y=x+1$$.

   5. д) $$k\in\{1;3;5\},\quad b\in\{2;4\}$$

      Возможны функции:

      $$y=x+2,\ y=x+4,\ y=3x+2,\ y=3x+4,\ y=5x+2,\ y=5x+4.$$

   6. е) $$k\in\{-2;-1\},\quad b\in\{0;1;2;4\}$$

      Возможны функции:

      $$y=-2x,\ y=-2x+1,\ y=-2x+2,\ y=-2x+4,$$

      $$y=-x,\ y=-x+1,\ y=-x+2,\ y=-x+4.$$

Ответ

а) 0; б) 1; в) 2; г) 3; д) 2; е) 4.