Дополнительная задача 1 Глава 5 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) в 2 раза больше и на 2 больше свободного коэффициента;
б) в 4 раза больше и на 3 больше свободного коэффициента;
в) в 2 раза меньше и на 10 меньше свободного коэффициента;
г) в 10 раз меньше и на 9 меньше свободного коэффициента;
д) на 3 больше свободного и на 5 больше коэффициента b;
е) на 3 больше свободного и на 5 больше суммы свободного коэффициента и коэффициента b.
Не решая уравнение, укажите число его корней:
а) (х^2 + х + 1)(х^2 — х + 1) = 0;
б) (х^2 + x + 1)(х^2 — 2х + 1) = 0;
в) (х^2 + 2х + 1)(х^2 — 2х + 1) = 0;
г) (x^2 + 2х + 1)(х^2 — 3х + 2) = 0;
д) (х^2 + 6х + 7)(х^2 — х + 1) = 0;
е) (х^2 + 7х + 4)(х^2 — 10х + 3) = 0.

1. Пусть квадратный трёхчлен имеет вид $$ax^2+bx+c.$$ Тогда сумма коэффициентов равна
   $$a+b+c=10.$$
2. а) По условию $$a=2c$$ и $$a-c=2.$$ Тогда
   $$\begin{cases} a+b+c=10,\\ a-2c=0,\\ a-c=2. \end{cases}$$
   Из разности второго и третьего уравнений:
   $$c=2,\quad a=4,$$
   затем
   $$4+b+2=10,\quad b=4.$$
   Получаем трёхчлен:
   $$4x^2+4x+2.$$
3. б) По условию $$a=4c$$ и $$a-c=3.$$ Тогда
   $$\begin{cases} a+b+c=10,\\ a-4c=0,\\ a-c=3. \end{cases}$$
   Из разности второго и третьего уравнений:
   $$3c=3,\quad c=1,\quad a=4.$$
   Тогда
   $$4+b+1=10,\quad b=5.$$
   Получаем:
   $$4x^2+5x+1.$$
4. в) По условию $$2a=c$$ и $$c-a=10.$$ Тогда
   $$\begin{cases} a+b+c=10,\\ 2a-c=0,\\ c-a=10. \end{cases}$$
   Складываем второе и третье уравнения:
   $$a+c=20.$$
   Совместно с $$c-a=10$$ получаем
   $$2c=30,\quad c=15,\quad a=5.$$
   Тогда
   $$5+b+15=10,\quad b=-10.$$
   Получаем:
   $$5x^2-10x+15.$$
5. г) По условию $$10a=c$$ и $$c-a=9.$$ Тогда
   $$\begin{cases} a+b+c=10,\\ 10a-c=0,\\ c-a=9. \end{cases}$$
   Складываем второе и третье уравнения:
   $$9a=9,\quad a=1,\quad c=10.$$
   Тогда
   $$1+b+10=10,\quad b=-1.$$
   Получаем:
   $$x^2-x+10.$$
6. д) По условию $$a-c=3$$ и $$a-b=5.$$ Тогда
   $$\begin{cases} a+b+c=10,\\ a-c=3,\\ a-b=5. \end{cases}$$
   Из второго и третьего уравнений:
   $$c=a-3,\quad b=a-5.$$
   Подставим в первое:
   $$a+(a-5)+(a-3)=10,$$
   $$3a-8=10,$$
   $$3a=18,\quad a=6.$$
   Тогда
   $$c=3,\quad b=1.$$
   Получаем:
   $$6x^2+x+3.$$
7. е) По условию $$a-c=3$$ и $$a-c=5+b.$$ Тогда
   $$3=5+b,\quad b=-2.$$
   Из системы
   $$\begin{cases} a+b+c=10,\\ a-c=3,\\ a-c=5+b \end{cases}$$
   получаем
   $$a+c=12.$$
   Совместно с $$a-c=3$$ имеем
   $$2a=15,\quad a=7{,}5,\quad c=4{,}5.$$
   Получаем:
   $$7{,}5x^2-2x+4{,}5.$$
8. Число корней уравнений:
   1. $$\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)=0.$$
      У первого и второго квадратных трёхчленов
      $$D=1-4=-3<0,$$ значит, корней нет. 0 корней.
   2. $$\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-2x+1\right)=0.$$
      Первый множитель корней не имеет, а
      $$x^2-2x+1=(x-1)^2,$$
      значит, один корень. 1 корень.
   3. $$\left(x^2+2x+1\right)\left(x^2-2x+1\right)=0.$$
      Оба множителя имеют по одному корню:
      $$x^2+2x+1=(x+1)^2,\quad x^2-2x+1=(x-1)^2.$$
      2 корня.
   4. $$\left(x^2+2x+1\right)\left(x^2-3x+2\right)=0.$$
      Первый множитель даёт один корень, второй:
      $$x^2-3x+2=(x-1)(x-2),$$
      даёт два корня. Всего 3 корня.
   5. $$\left(x^2+6x+7\right)\left(x^2-x+1\right)=0.$$
      Для первого:
      $$D=36-28=8>0,$$
      значит, два корня; второй корней не имеет, так как
      $$D=1-4=-3<0.$$ 2 корня.
   6. $$\left(x^2+7x+4\right)\left(x^2-10x+3\right)=0.$$
      У первого:
      $$D=49-16=33>0,$$
      у второго:
      $$D=100-12=88>0.$$
      Оба множителя дают по два корня, всего 4 корня.

Ответ

а) $$4x^2+4x+2$$; б) $$4x^2+5x+1$$; в) $$5x^2-10x+15$$; г) $$x^2-x+10$$; д) $$6x^2+x+3$$; е) $$7{,}5x^2-2x+4{,}5$$.
Число корней: а) 0; б) 1; в) 2; г) 3; д) 2; е) 4.