Дополнительная задача 1 Глава 4 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) чётно; г) кратно 3 или 5;
б) нечётно; д) однозначно;
в) кратно 3; е) больше 18.
Составьте квадратный трёхчлен, сумма коэффициентов которого равна 10 и у которого старший коэффициент:
а) в 2 раза больше и на 2 больше свободного коэффициента;
б) в 4 раза больше и на 3 больше свободного коэффициента;
в) в 2 раза меньше и на 10 меньше свободного коэффициента;
г) в 10 раз меньше и на 9 меньше свободного коэффициента;
д) на 3 больше свободного и на 5 больше коэффициента b;
е) на 3 больше свободного и на 5 больше суммы свободного коэффициента и коэффициента b.

Простые натуральные числа, меньшие 30:

$$2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29.$$

Всего исходов $$10$$.

1. Чётное простое число одно: $$2$$.

   $$P=\frac{1}{10}=0{,}1.$$

2. Нечётных простых чисел $$9$$.

   $$P=\frac{9}{10}=0{,}9.$$

3. Кратное $$3$$ простое число одно: $$3$$.

   $$P=\frac{1}{10}=0{,}1.$$

4. Кратных $$3$$ или $$5$$ простых чисел два: $$3$$ и $$5$$.

   $$P=\frac{2}{10}=0{,}2.$$

5. Однозначных простых чисел четыре: $$2,\ 3,\ 5,\ 7$$.

   $$P=\frac{4}{10}=0{,}4.$$

6. Больше $$18$$ простых чисел три: $$19,\ 23,\ 29$$.

   $$P=\frac{3}{10}=0{,}3.$$

Пусть искомый квадратный трёхчлен имеет вид $$ax^2+bx+c$$, причём $$a+b+c=10$$.

7. $$a=2c,\ a-c=2.$$

   $$ \begin{cases} a+b+c=10 \\ a=2c \\ a-c=2 \end{cases} $$

   Из $$a-c=2$$ и $$a=2c$$ получаем:

   $$2c-c=2,\quad c=2,\quad a=4.$$

   Тогда $$4+b+2=10,\ b=4.$$

   Квадратный трёхчлен: $$4x^2+4x+2.$$

8. $$a=4c,\ a-c=3.$$

   $$ \begin{cases} a+b+c=10 \\ a=4c \\ a-c=3 \end{cases} $$

   Из $$a-c=3$$ и $$a=4c$$ получаем:

   $$4c-c=3,\quad c=1,\quad a=4.$$

   Тогда $$4+b+1=10,\ b=5.$$

   Квадратный трёхчлен: $$4x^2+5x+1.$$

9. $$2a=c,\ c-a=10.$$

   $$ \begin{cases} a+b+c=10 \\ 2a=c \\ c-a=10 \end{cases} $$

   Из $$c=2a$$ и $$c-a=10$$ получаем:

   $$2a-a=10,\quad a=10,\quad c=20.$$

   Тогда $$10+b+20=10,\ b=-20.$$

   Квадратный трёхчлен: $$10x^2-20x+20.$$

10. $$10a=c,\ c-a=9.$$

    $$ \begin{cases} a+b+c=10 \\ 10a=c \\ c-a=9 \end{cases} $$

    Из $$c=10a$$ и $$c-a=9$$ получаем:

    $$10a-a=9,\quad 9a=9,\quad a=1,\quad c=10.$$

    Тогда $$1+b+10=10,\ b=-1.$$

    Квадратный трёхчлен: $$x^2-x+10.$$

11. $$a-c=3,\ a-b=5.$$

    $$ \begin{cases} a+b+c=10 \\ a-c=3 \\ a-b=5 \end{cases} $$

    Из $$a-c=3$$ и $$a-b=5$$ получаем:

    $$c=a-3,\quad b=a-5.$$

    Подставим в первое уравнение:

    $$a+(a-5)+(a-3)=10,$$

    $$3a-8=10,\quad 3a=18,\quad a=6.$$

    Тогда $$c=3,\ b=1.$$

    Квадратный трёхчлен: $$6x^2+x+3.$$

12. $$a-c=3,\ a-(b+c)=5.$$

    $$ \begin{cases} a+b+c=10 \\ a-c=3 \\ a-b-c=5 \end{cases} $$

    Сложим первое и третье уравнения:

    $$2a=15,\quad a=7{,}5.$$

    Вычтем второе уравнение из первого:

    $$2c=7,\quad c=3{,}5.$$

    Тогда

    $$b=10-a-c=10-7{,}5-3{,}5=-1.$$

    Квадратный трёхчлен: $$7{,}5x^2-x+3{,}5.$$

Ответ

а) $$0{,}1$$; б) $$0{,}9$$; в) $$0{,}1$$; г) $$0{,}2$$; д) $$0{,}4$$; е) $$0{,}3$$.

а) $$4x^2+4x+2$$; б) $$4x^2+5x+1$$; в) $$10x^2-20x+20$$; г) $$x^2-x+10$$; д) $$6x^2+x+3$$; е) $$7{,}5x^2-x+3{,}5$$.