Упр.1.21 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что при любых значениях переменной: а) значение дроби $$\frac{5}{a^2+7}$$ положительно; б) значение дроби $$\frac{-3}{b^2+4}$$ отрицательно; в) значение дроби $$\frac{(x-3)^2}{a^2+8}$$ неотрицательно; г) значение дроби $$\frac{(y-6)^2}{-y^2-3}$$ неположительно.

а) Числитель $$5$$ положителен, а знаменатель $$a^2+7$$ тоже положителен при любых значениях $$a$$, так как $$a^2 \ge 0$$, значит $$a^2+7>0$$. Следовательно, дробь положительна:

$$\frac{5}{a^2+7}>0.$$

б) Числитель $$-3$$ отрицателен, а знаменатель $$b^2+4$$ положителен при любых значениях $$b$$, так как $$b^2 \ge 0$$, значит $$b^2+4>0$$. Следовательно, дробь отрицательна:

$$\frac{-3}{b^2+4}<0.$$

в) Числитель $$\left(x-3\right)^2$$ неотрицателен при любых значениях $$x$$, а знаменатель $$a^2+8$$ положителен при любых значениях $$a$$, так как $$a^2 \ge 0$$, значит $$a^2+8>0$$. Следовательно, дробь неотрицательна:

$$\frac{(x-3)^2}{a^2+8}\ge 0.$$

г) Числитель $$\left(y-6\right)^2$$ неотрицателен при любых значениях $$y$$, а знаменатель $$-y^2-3$$ отрицателен при любых значениях $$y$$, так как $$y^2 \ge 0$$, значит $$-y^2-3<0$$. Следовательно, дробь неположительна:

$$\frac{(y-6)^2}{-y^2-3}\le 0.$$

Ответ

а) положительна; б) отрицательна; в) неотрицательна; г) неположительна.