Упр.1.14 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович 8 класс, Мнемозина: 1.14. Прогулочный катер двигался по реке, скорость течения которой 2 км/ч. По течению реки он проплыл 18 км, а против течения 14 км, затратив на весь путь 1 ч 20 мин.

Подробный ответ

Пусть $$x$$ км/ч — собственная скорость катера. Тогда скорость по течению равна $$x+2$$ км/ч, а против течения — $$x-2$$ км/ч.

Время движения по течению:

$$\frac{18}{x+2}$$

Время движения против течения:

$$\frac{14}{x-2}$$

По условию весь путь занял $$1\text{ ч }20\text{ мин} = 1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$$ ч. Составим уравнение:

$$\frac{18}{x+2}+\frac{14}{x-2}=\frac{4}{3}.$$

ОДЗ: $$x>2$$.

Умножим обе части уравнения на $$3(x+2)(x-2)$$:

$$54(x-2)+42(x+2)=4(x^2-4).$$

$$54x-108+42x+84=4x^2-16$$

$$96x-24=4x^2-16$$

$$4x^2-96x+8=0$$

$$x^2-24x+2=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$x=\frac{24\pm\sqrt{24^2-4\cdot 2}}{2}=\frac{24\pm\sqrt{568}}{2}=12\pm\sqrt{142}.$$

С учётом ОДЗ $$x>2$$ подходят оба корня, но по смыслу задачи собственная скорость катера должна быть больше скорости течения, поэтому берём положительное решение:

$$x=12+\sqrt{142}\approx 23{,}9.$$