Контрольная работа 7 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

2. Представьте в виде степени с основанием n выражение (n^(-3) )^4 :n^(-15).
3. Упростите выражение v16b-0,5v36b.
4. При каких значениях переменной имеет смысл выражение (x+7)/(2x^2-x-6).
5. Докажите тождество:
(b/(b^2-8b+16)-(b+6)/(b^2-16)) :(b+12)/(b^2-16)=2/(b-4).
6. Первый насос наполнил водой бассейн объемом 360 м^3, а второй — объемом 480 м^3. Первый насос перекачивал на 10 м^3 воды в час меньше, чем второй, и работал на 2 ч больше второго. Какой объем воды перекачивал за 1 ч каждый насос?
7. Постройте график функции y={(vx, если 0?x?1; x^2, если x > 1).
8. Докажите, что при любом значении p уравнение x^2-px+2p^2+1=0 не имеет корней.

1. $$\frac{27a^3b^2}{18ab^8}=\frac{27}{18}\cdot \frac{a^3}{a}\cdot \frac{b^2}{b^8} =\frac{3}{2}a^2\cdot \frac{1}{b^6} =\frac{3a^2}{2b^6}.$$

2. $$(n^{-3})^4:n^{-15}=n^{-12}:n^{-15}=n^{-12-(-15)}=n^3.$$

3. $$\sqrt{16b}-0{,}5\sqrt{36b}=4\sqrt{b}-0{,}5\cdot 6\sqrt{b}=4\sqrt{b}-3\sqrt{b}=\sqrt{b}.$$

4. Чтобы выражение $$\frac{x+7}{2x^2-x-6}$$ имело смысл, нужно, чтобы знаменатель не равнялся нулю:
   $$2x^2-x-6\ne 0.$$
   Разложим на множители:
   $$2x^2-x-6=(2x+3)(x-2).$$
   Тогда
   $$(2x+3)(x-2)\ne 0,$$
   откуда
   $$x\ne -\frac{3}{2},\quad x\ne 2.$$

5. Преобразуем левую часть:
   $$ \left(\frac{b}{b^2-8b+16}-\frac{b+6}{b^2-16}\right):\frac{b+12}{b^2-16}. $$
   Разложим знаменатели на множители:
   $$ b^2-8b+16=(b-4)^2,\qquad b^2-16=(b-4)(b+4). $$
   Тогда
   $$ \left(\frac{b}{(b-4)^2}-\frac{b+6}{(b-4)(b+4)}\right)\cdot \frac{(b-4)(b+4)}{b+12}. $$
   Приведём к общему знаменателю:
   $$ \frac{b(b+4)-(b+6)(b-4)}{(b-4)^2(b+4)}\cdot \frac{(b-4)(b+4)}{b+12}. $$
   Числитель:
   $$ b(b+4)-(b+6)(b-4)=b^2+4b-(b^2+2b-24)=2b+24=2(b+12). $$
   Получаем:
   $$ \frac{2(b+12)}{(b-4)^2(b+4)}\cdot \frac{(b-4)(b+4)}{b+12} =\frac{2}{b-4}. $$
   Тождество доказано.

6. Пусть первый насос перекачивает $$x$$ м³/ч, тогда второй — $$x+10$$ м³/ч.
   По условию:
   $$ \frac{360}{x}-\frac{480}{x+10}=2. $$
   Умножим на $$x(x+10)$$:
   $$ 360(x+10)-480x=2x(x+10). $$
   $$ 360x+3600-480x=2x^2+20x. $$
   $$ 2x^2+140x-3600=0. $$
   Разделим на 2:
   $$ x^2+70x-1800=0. $$
   $$ D=70^2+4\cdot 1800=4900+7200=12100,\qquad \sqrt{D}=110. $$
   $$ x_1=\frac{-70-110}{2}=-90,\qquad x_2=\frac{-70+110}{2}=20. $$
   Отрицательное значение не подходит, значит:
   $$x=20,$$
   а второй насос:
   $$x+10=30.$$

7. Функция задана по частям:
   $$ y= \begin{cases} \sqrt{x}, & 0\le x\le 1,\\ x^2, & x>1. \end{cases} $$
   Для построения отметим точки:
   $$\sqrt{x}: \ (0,0),\ (1,1);$$
   $$x^2: \ (1,1),\ (2,4),\ (3,9).$$
   График состоит из дуги $$y=\sqrt{x}$$ на отрезке $$0\le x\le 1$$ и ветви параболы $$y=x^2$$ при $$x>1$$. Точка $$ (1,1) $$ принадлежит графику.

8. Рассмотрим уравнение:
   $$ x^2-px+2p^2+1=0. $$
   Его дискриминант:
   $$ D=p^2-4(2p^2+1)=p^2-8p^2-4=-7p^2-4. $$
   Так как
   $$ -7p^2-4<0 $$
   при любом $$p$$, то дискриминант всегда отрицателен. Значит, уравнение не имеет действительных корней при любом значении $$p$$.

Ответ

1) $$\frac{3a^2}{2b^6}$$; 2) $$n^3$$; 3) $$\sqrt{b}$$; 4) $$x\ne -\frac{3}{2},\ x\ne 2$$; 5) тождество верно; 6) $$20\ \text{м}^3/\text{ч}$$ и $$30\ \text{м}^3/\text{ч}$$; 7) график задан по частям; 8) корней нет при любом $$p$$.