Контрольная работа 7 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

2. Представьте в виде степени с основанием m выражение (m^6 )^(-2) :m^(-8).
3. Упростите выражение v64a-1/7 v49a.
4. При каких значениях переменной имеет смысл выражение (x-8)/(3x^2-10x+3).
5. Докажите тождество:
(a/(a^2-25)-(a-8)/(a^2-10a+25)) :(a-20)/(a-5)^2 =-a/(a+5).
6. Первый рабочий изготовил 120 деталей, а второй — 144 детали. Первый рабочий изготавливал на 4 детали в час больше, чем второй, и работал на 3 ч меньше второго. Сколько деталей изготавливал за 1 ч каждый рабочий?
7. Постройте график функции y={(vx, если 0?x?4; 8/x, если x > 4).
8. Докажите, что при любом значении p уравнение x^2+px+p-4=0 имеет два корня.

1. $$\frac{35mn^9}{14m^2n^3}=\frac{35}{14}\cdot \frac{m}{m^2}\cdot \frac{n^9}{n^3}=\frac{5n^6}{2m}.$$

2. $$(m^6)^{-2}:m^{-8}=m^{-12}:m^{-8}=m^{-12-(-8)}=m^{-4}.$$

3. $$\sqrt{64a}-\frac17\sqrt{49a}=8\sqrt{a}-\frac17\cdot 7\sqrt{a}=8\sqrt{a}-\sqrt{a}=7\sqrt{a}.$$

4. Знаменатель не должен обращаться в нуль:
   $$3x^2-10x+3\ne 0.$$
   Найдём корни:
   $$ D=100-4\cdot 3\cdot 3=64,\qquad \sqrt{D}=8, $$
   $$ x_{1,2}=\frac{10\pm 8}{6}. $$
   Тогда
   $$ x_1=\frac{2}{6}=\frac13,\qquad x_2=\frac{18}{6}=3. $$
   Значит, выражение имеет смысл при
   $$x\ne \frac13,\quad x\ne 3.$$

5. Рассмотрим левую часть:
   $$ \left(\frac{a}{a^2-25}-\frac{a-8}{a^2-10a+25}\right):\frac{a-20}{(a-5)^2}. $$
   Разложим знаменатели:
   $$ a^2-25=(a-5)(a+5),\qquad a^2-10a+25=(a-5)^2. $$
   Тогда
   $$ \frac{a}{(a-5)(a+5)}-\frac{a-8}{(a-5)^2} =\frac{a(a-5)-(a-8)(a+5)}{(a-5)^2(a+5)}. $$
   Числитель:
   $$ a(a-5)-(a-8)(a+5)=a^2-5a-(a^2-3a-40)=40-2a=-2(a-20). $$
   Значит,
   $$ \left(\frac{a}{a^2-25}-\frac{a-8}{a^2-10a+25}\right) =\frac{-2(a-20)}{(a-5)^2(a+5)}. $$
   Делим на $$\frac{a-20}{(a-5)^2}$$:
   $$ \frac{-2(a-20)}{(a-5)^2(a+5)}:\frac{a-20}{(a-5)^2} =\frac{-2}{a+5}. $$
   Следовательно, тождество верно:
   $$ \left(\frac{a}{a^2-25}-\frac{a-8}{a^2-10a+25}\right):\frac{a-20}{(a-5)^2} =-\frac{2}{a+5}. $$

6. Пусть второй рабочий изготавливал $$x$$ деталей в час, тогда первый — $$x+4$$ деталей в час. По условию:
   $$ \frac{144}{x}-\frac{120}{x+4}=3. $$
   Умножим на $$x(x+4)$$:
   $$ 144(x+4)-120x=3x(x+4). $$
   $$ 144x+576-120x=3x^2+12x, $$
   $$ 3x^2-12x-576=0. $$
   Делим на $$3$$:
   $$ x^2-4x-192=0. $$
   $$ D=16+768=784,\qquad \sqrt{D}=28. $$
   $$ x_{1,2}=\frac{4\pm 28}{2}. $$
   $$ x_1=-12 \text{ не подходит},\qquad x_2=16. $$
   Значит, второй рабочий изготавливал $$16$$ деталей в час, а первый:
   $$ 16+4=20. $$

7. Функция задана по частям:
   $$ y= \begin{cases} \sqrt{x}, & 0\le x\le 4,\\ \frac{8}{x}, & x>4. \end{cases} $$
   Для первой части удобно взять точки:
   $$ (0,0),\ (1,1),\ (4,2). $$
   Для второй части:
   $$ (4,2),\ (8,1),\ (10,0{,}8). $$
   График состоит из дуги $$y=\sqrt{x}$$ на отрезке $$0\le x\le 4$$ и ветви гиперболы $$y=\frac{8}{x}$$ при $$x>4$$. Обе части соединяются в точке $$ (4,2) $$.

8. Для уравнения
   $$ x^2+px+p-4=0 $$
   дискриминант равен
   $$ D=p^2-4(p-4)=p^2-4p+16. $$
   Преобразуем:
   $$ D=(p-2)^2+12. $$
   Так как $$ (p-2)^2\ge 0 $$ и $$12>0$$, то
   $$ D>0 $$
   при любом значении $$p$$. Значит, уравнение имеет два различных корня при любом $$p$$.

Ответ

1) $$\frac{5n^6}{2m}$$; 2) $$m^{-4}$$; 3) $$7\sqrt{a}$$; 4) $$x\ne \frac13,\ x\ne 3$$; 5) $$-\frac{2}{a+5}$$; 6) $$20$$ деталей/ч и $$16$$ деталей/ч; 7) график функции задан по частям; 8) при любом $$p$$ уравнение имеет два корня.