Контрольная работа 6 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) x^2-4x-32; 2) 4x^2-15x+9.
2. Решите уравнение:
1) x^4-35x^2-36=0; 2) (x^2-7x)/(x+2)=18/(x+2).
3. Сократите дробь (4a^2+a-3)/(a^2-1).
4. Решите уравнение:
10/(x^2-100)+(x-20)/(x^2+10x)-5/(x^2-10x)=0.
5. Первый автомобиль проезжает расстояние, равное 300 км, на 1 ч быстрее, чем второй. Найдите скорость каждого автомобиля, если скорость первого автомобиля на 10 км/ч больше скорости второго.
6. Постройте график функции y=(x^2+2x-15)/(x-3)

1. Разложим квадратные трёхчлены на множители:

   $$x^2-4x-32=(x-8)(x+4)$$

   $$4x^2-15x+9=(4x-3)(x-3)$$

2. Решим уравнения:

   $$x^4-35x^2-36=0$$

   Сделаем замену $$x^2=t$$. Тогда

   $$t^2-35t-36=0$$

   $$D=35^2+4\cdot 36=1225+144=1369$$

   $$t_1=\frac{35+37}{2}=36,\quad t_2=\frac{35-37}{2}=-1$$

   Так как $$x^2=t$$, получаем:

   $$x^2=36 \Rightarrow x=\pm 6$$

   $$x^2=-1$$ — решений нет.

   Значит, $$x=\pm 6$$.

   Теперь решим:

   $$\frac{x^2-7x}{x+2}=\frac{18}{x+2}$$

   ОДЗ: $$x\ne -2$$.

   Умножим обе части на $$x+2$$:

   $$x^2-7x=18$$

   $$x^2-7x-18=0$$

   $$D=49+72=121$$

   $$x_1=\frac{7+11}{2}=9,\quad x_2=\frac{7-11}{2}=-2$$

   Число $$-2$$ не подходит, так как нарушает ОДЗ. Поэтому $$x=9$$.

3. Сократим дробь:

   $$\frac{4a^2+a-3}{a^2-1}=\frac{(4a-3)(a+1)}{(a-1)(a+1)}$$

   При $$a\ne \pm 1$$ получаем:

   $$\frac{4a^2+a-3}{a^2-1}=\frac{4a-3}{a-1}$$

4. Решим уравнение:

   $$\frac{10}{x^2-100}+\frac{x-20}{x^2+10x}-\frac{5}{x^2-10x}=0$$

   ОДЗ: $$x\ne \pm 10,\; x\ne 0$$.

   Разложим знаменатели на множители:

   $$\frac{10}{(x-10)(x+10)}+\frac{x-20}{x(x+10)}-\frac{5}{x(x-10)}=0$$

   Приведём к общему знаменателю $$x(x-10)(x+10)$$:

   $$10x+(x-20)(x-10)-5(x+10)=0$$

   $$10x+x^2-30x+200-5x-50=0$$

   $$x^2-25x+150=0$$

   $$D=25^2-4\cdot 150=625-600=25$$

   $$x_1=\frac{25+5}{2}=15,\quad x_2=\frac{25-5}{2}=10$$

   Число $$10$$ не подходит по ОДЗ. Значит, $$x=15$$.

5. Пусть скорость второго автомобиля равна $$x$$ км/ч, тогда скорость первого — $$x+10$$ км/ч.

   По условию:

   $$\frac{300}{x}-\frac{300}{x+10}=1$$

   $$300(x+10)-300x=x(x+10)$$

   $$3000=x^2+10x$$

   $$x^2+10x-3000=0$$

   $$D=10^2+4\cdot 3000=12100$$

   $$x_1=\frac{-10-110}{2}=-60,\quad x_2=\frac{-10+110}{2}=50$$

   Отрицательное значение не подходит, значит, скорость второго автомобиля $$50$$ км/ч, а первого $$60$$ км/ч.

6. Преобразуем функцию:

   $$y=\frac{x^2+2x-15}{x-3}=\frac{(x+5)(x-3)}{x-3}=x+5,\quad x\ne 3$$

   График — прямая $$y=x+5$$ с выколотой точкой при $$x=3$$, то есть в точке $$\left(3;8\right)$$.

   Для построения можно взять точки:

   $$x=0 \Rightarrow y=5,\qquad x=-5 \Rightarrow y=0$$

Ответ

1) $$x^2-4x-32=(x-8)(x+4),\quad 4x^2-15x+9=(4x-3)(x-3)$$

2) $$x=\pm 6;\quad x=9$$

3) $$\frac{4a^2+a-3}{a^2-1}=\frac{4a-3}{a-1},\quad a\ne \pm 1$$

4) $$x=15$$

5) $$60$$ км/ч и $$50$$ км/ч

6) $$y=x+5,\quad x\ne 3$$; выколотая точка $$\left(3;8\right)$$