Контрольная работа 6 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) x^2+10x-24; 2) 3x^2-11x+6.
2. Решите уравнение:
1) x^4-24x^2-25=0; 2) (x^2+5x)/(x-1)=6/(x-1).
3. Сократите дробь (3a^2-5a-2)/(a^2-4).
4. Решите уравнение:
6/(x^2-36)-3/(x^2-6x)+(x-12)/(x^2+6x)=0.
5. Пассажирский поезд проходит расстояние, равное 120 км, на 1 ч быстрее, чем товарный. Найдите скорость каждого поезда, если скорость товарного поезда на 20 км/ч меньше скорости пассажирского.
6. Постройте график функции y=(x^2-x-12)/(x-4)

1. Разложим на множители:

   $$x^2+10x-24=(x+12)(x-2)$$

   $$3x^2-11x+6=(3x-2)(x-3)$$

2. 1) Решим уравнение:

   $$x^4-24x^2-25=0$$

   Сделаем замену: $$x^2=t$$. Тогда

   $$t^2-24t-25=0$$

   $$D=24^2+4\cdot 25=576+100=676$$

   $$t_{1,2}=\frac{24\pm 26}{2}$$

   $$t_1=25,\quad t_2=-1$$

   Так как $$x^2\ge 0$$, то $$t=-1$$ не подходит. Получаем:

   $$x^2=25$$

   $$x=\pm 5$$

   2) Решим уравнение:

   $$\frac{x^2+5x}{x-1}=\frac{6}{x-1}$$

   ОДЗ: $$x\ne 1$$.

   Умножим обе части на $$x-1$$:

   $$x^2+5x=6$$

   $$x^2+5x-6=0$$

   $$ (x+6)(x-1)=0 $$

   $$x=-6 \text{ или } x=1$$

   С учётом ОДЗ $$x=1$$ не подходит, значит:

   $$x=-6$$

3. Сократим дробь:

   $$\frac{3a^2-5a-2}{a^2-4}$$

   Разложим на множители:

   $$3a^2-5a-2=(3a+1)(a-2)$$

   $$a^2-4=(a-2)(a+2)$$

   Тогда

   $$\frac{3a^2-5a-2}{a^2-4}=\frac{(3a+1)(a-2)}{(a-2)(a+2)}=\frac{3a+1}{a+2}$$

   ОДЗ: $$a\ne \pm 2$$.

4. Решим уравнение:

   $$\frac{6}{x^2-36}-\frac{3}{x^2-6x}+\frac{x-12}{x^2+6x}=0$$

   ОДЗ: $$x\ne -6,\;0,\;6$$.

   Разложим знаменатели на множители:

   $$\frac{6}{(x-6)(x+6)}-\frac{3}{x(x-6)}+\frac{x-12}{x(x+6)}=0$$

   Умножим на $$x(x-6)(x+6)$$:

   $$6x-3(x+6)+(x-12)(x-6)=0$$

   $$6x-3x-18+x^2-18x+72=0$$

   $$x^2-15x+54=0$$

   $$ (x-6)(x-9)=0 $$

   $$x=6 \text{ или } x=9$$

   Число $$x=6$$ не подходит по ОДЗ, значит:

   $$x=9$$

5. Пусть скорость товарного поезда равна $$x$$ км/ч, тогда скорость пассажирского — $$x+20$$ км/ч.

   Время движения:

   $$\frac{120}{x} \text{ и } \frac{120}{x+20}$$

   По условию:

   $$\frac{120}{x}-\frac{120}{x+20}=1$$

   $$120(x+20)-120x=x(x+20)$$

   $$2400=x^2+20x$$

   $$x^2+20x-2400=0$$

   $$D=20^2+4\cdot 2400=10000$$

   $$x_{1,2}=\frac{-20\pm 100}{2}$$

   $$x_1=-60,\quad x_2=40$$

   Скорость не может быть отрицательной, значит:

   $$x=40$$

   Тогда скорость пассажирского поезда:

   $$40+20=60$$

6. Преобразуем функцию:

   $$y=\frac{x^2-x-12}{x-4}=\frac{(x-4)(x+3)}{x-4}=x+3,\quad x\ne 4$$

   График — прямая $$y=x+3$$ с выколотой точкой при $$x=4$$, то есть в точке $$ (4;7) $$.

   Для построения можно взять точки:

   $$x=0,\; y=3$$

   $$x=-3,\; y=0$$

Ответ

1) $$x^2+10x-24=(x+12)(x-2),\quad 3x^2-11x+6=(3x-2)(x-3)$$

2) $$x=\pm 5;\quad x=-6$$

3) $$\frac{3a+1}{a+2},\quad a\ne \pm 2$$

4) $$x=9$$

5) $$40\text{ км/ч и }60\text{ км/ч}$$

6) $$y=x+3,\quad x\ne 4$$; выколотая точка $$ (4;7) $$