Упр.58 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1) (m^(-2)-5)/m^(-8) -(m^(-4)-25)/m^(-8) •1/(m^(-2)-5);
2) ((5a^(-6))/(a^(-12)-14a^(-6)+49)-a^(-6)/(a^(-6)-7))•(49-a^(-12))/(12-a^(-6) )+(14a^(-6))/(a^(-6)-7).

Подробный ответ

1) Преобразуем выражение:

$$ \frac{m^{-2}-5}{m^{-8}}-\frac{m^{-4}-25}{m^{-8}}\cdot \frac{1}{m^{-2}-5} $$

Заметим, что
$$ m^{-4}-25=(m^{-2}-5)(m^{-2}+5). $$
Тогда
$$ \frac{m^{-4}-25}{m^{-8}}\cdot \frac{1}{m^{-2}-5} = \frac{(m^{-2}-5)(m^{-2}+5)}{m^{-8}(m^{-2}-5)} = \frac{m^{-2}+5}{m^{-8}}. $$
Следовательно,
$$ \frac{m^{-2}-5}{m^{-8}}-\frac{m^{-2}+5}{m^{-8}} = \frac{m^{-2}-5-m^{-2}-5}{m^{-8}} = \frac{-10}{m^{-8}} = -10m^8. $$

2) Преобразуем выражение:

$$ \left(\frac{5a^{-6}}{a^{-12}-14a^{-6}+49}-\frac{a^{-6}}{a^{-6}-7}\right)\cdot \frac{49-a^{-12}}{12-a^{-6}}+\frac{14a^{-6}}{a^{-6}-7} $$

Так как
$$ a^{-12}-14a^{-6}+49=(a^{-6}-7)^2, $$
то
$$ \frac{5a^{-6}}{a^{-12}-14a^{-6}+49}-\frac{a^{-6}}{a^{-6}-7} = \frac{5a^{-6}}{(a^{-6}-7)^2}-\frac{a^{-6}}{a^{-6}-7}. $$
Приведём к общему знаменателю:
$$ \frac{5a^{-6}-a^{-6}(a^{-6}-7)}{(a^{-6}-7)^2} = \frac{12a^{-6}-a^{-12}}{(a^{-6}-7)^2}. $$
Кроме того,
$$ 49-a^{-12}=-(a^{-12}-49)=-(a^{-6}-7)(a^{-6}+7). $$
Тогда
$$ \left(\frac{12a^{-6}-a^{-12}}{(a^{-6}-7)^2}\right)\cdot \frac{49-a^{-12}}{12-a^{-6}} = \frac{12a^{-6}-a^{-12}}{(a^{-6}-7)^2}\cdot \frac{-(a^{-6}-7)(a^{-6}+7)}{12-a^{-6}}. $$
Сокращая, получаем
$$ -\frac{a^{-6}(a^{-6}+7)}{a^{-6}-7}. $$
Теперь прибавим последний дробный член:
$$ -\frac{a^{-6}(a^{-6}+7)}{a^{-6}-7}+\frac{14a^{-6}}{a^{-6}-7} = \frac{-a^{-12}-7a^{-6}+14a^{-6}}{a^{-6}-7} = \frac{-a^{-12}+7a^{-6}}{a^{-6}-7}. $$
Вынесем $a^{-6}$:
$$ \frac{a^{-6}(7-a^{-6})}{a^{-6}-7} = -\frac{a^{-6}(a^{-6}-7)}{a^{-6}-7} = -a^{-6}. $$