Упр.58 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1) (x^(-3)-3)/x^(-5) -(x^(-6)-9)/x^(-5) •1/(x^(-3)-3);
2) (a^(-5)/(a^(-5)-6)-(2a^(-5))/(a^(-10)-12a^(-5)+36))•(36-a^(-10))/(a^(-5)-8)+(12a^(-5))/(a^(-5)-6).

Подробный ответ

1) Преобразуем выражение:

$$ \frac{x^{-3}-3}{x^{-5}}-\frac{x^{-6}-9}{x^{-5}}\cdot \frac{1}{x^{-3}-3} $$

Заметим, что
$$ x^{-6}-9=(x^{-3}-3)(x^{-3}+3). $$
Тогда
$$ \frac{x^{-3}-3}{x^{-5}}-\frac{(x^{-3}-3)(x^{-3}+3)}{x^{-5}}\cdot \frac{1}{x^{-3}-3} = \frac{x^{-3}-3}{x^{-5}}-\frac{x^{-3}+3}{x^{-5}}. $$

Сводим к общему знаменателю:
$$ \frac{x^{-3}-3-(x^{-3}+3)}{x^{-5}}=\frac{-6}{x^{-5}}=-6x^5. $$

2) Упростим выражение:

$$ \left(\frac{a^{-5}}{a^{-5}-6}-\frac{2a^{-5}}{a^{-10}-12a^{-5}+36}\right)\cdot \frac{36-a^{-10}}{a^{-5}-8}+\frac{12a^{-5}}{a^{-5}-6} $$

Так как
$$ a^{-10}-12a^{-5}+36=(a^{-5}-6)^2, $$
а также
$$ 36-a^{-10}=(6-a^{-5})(6+a^{-5}), $$
то

$$ \frac{a^{-5}}{a^{-5}-6}-\frac{2a^{-5}}{(a^{-5}-6)^2} = \frac{a^{-5}(a^{-5}-6)-2a^{-5}}{(a^{-5}-6)^2} = \frac{a^{-10}-8a^{-5}}{(a^{-5}-6)^2}. $$

Тогда
$$ \left(\frac{a^{-10}-8a^{-5}}{(a^{-5}-6)^2}\right)\cdot \frac{(6-a^{-5})(6+a^{-5})}{a^{-5}-8} +\frac{12a^{-5}}{a^{-5}-6}. $$

Поскольку
$$ a^{-10}-8a^{-5}=a^{-5}(a^{-5}-8), $$
получаем
$$ \frac{a^{-5}(a^{-5}-8)}{(a^{-5}-6)^2}\cdot \frac{(6-a^{-5})(6+a^{-5})}{a^{-5}-8} = \frac{a^{-5}(6-a^{-5})(6+a^{-5})}{(a^{-5}-6)^2}. $$
Так как
$$ (6-a^{-5})^2=(a^{-5}-6)^2, $$
то выражение упрощается до
$$ \frac{a^{-5}(6+a^{-5})}{6-a^{-5}}. $$
Теперь прибавим вторую дробь:
$$ \frac{a^{-5}(6+a^{-5})}{6-a^{-5}}+\frac{12a^{-5}}{a^{-5}-6} = \frac{a^{-5}(6+a^{-5})-12a^{-5}}{6-a^{-5}}. $$

$$ \frac{a^{-5}(a^{-5}-6)}{6-a^{-5}}=-a^{-5}. $$
Следовательно,
$$ -a^{-5}=-\frac{1}{a^5}. $$